{"id":78984,"date":"2017-07-16T01:56:17","date_gmt":"2017-07-16T04:56:17","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=78984"},"modified":"2023-04-07T05:45:55","modified_gmt":"2023-04-07T08:45:55","slug":"probleminha-soma-de-fatoriais","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-soma-de-fatoriais\/","title":{"rendered":".Probleminha: Soma de Fatoriais"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nQual o algarismo das unidades do resultado da adi\u00e7\u00e3o [tex]1! + 2! + 3! + \\ldots + 100![\/tex] ?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPerceba que toda multiplica\u00e7\u00e3o de inteiros que possui um fator [tex]2[\/tex] e um fator [tex]5[\/tex] tem como produto um m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li>Portanto, s\u00e3o  m\u00faltiplos de [tex]10[\/tex] todos os n\u00fameros [tex]n![\/tex], com [tex]n \\geq  5[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Deste modo, temos<br \/>\n[tex] 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + \\ldots + 100! =[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad =\\left(1! + 2! + 3! + 4! \\right)+ \\left(5! + 6! + \\ldots + 100!\\right)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad =\\left(1! + 2! + 3! + 4! \\right)+ 10\\alpha[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad = \\left(1 + 2 + 6 + 24 \\right)+ 10\\alpha [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad = 33+10\\alpha[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad = 10 (\\alpha + 3) + 3[\/tex], com [tex]\\alpha \\in \\mathbb{Z}[\/tex].<br \/>\nLogo, o algarismo das unidades da soma \u00e9 [tex]3[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve que, a partir do fatorial de [tex]5[\/tex], todos os fatoriais, ou seja, [tex]5! , 6! , 7!  , 8! ,9!,\\ldots, 100![\/tex] ter\u00e3o fatores [tex]5[\/tex] e [tex]2[\/tex]. Isto significa que todos ser\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]10[\/tex].<br \/>\nComo todos os m\u00faltiplos de [tex]10[\/tex] possuem unidade igual a [tex]0[\/tex], ent\u00e3o a unidade da soma [tex]5! + 6! + 7!  + 8! + 9! + \\ldots + 100![\/tex] ser\u00e1 [tex]0[\/tex]. Assim, o que importa \u00e9 a unidade de [tex]1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33[\/tex].<br \/>\nDesse modo, o algarismo das unidades de [tex]1! + 2! + 3! + \\ldots+ 100![\/tex] \u00e9 [tex]3[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube <strong>1uik<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: <strong>1uik<\/strong>; <strong>ESQUADR\u00c3O MATEM\u00c1TICO<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Qual o algarismo das unidades do resultado da adi\u00e7\u00e3o [tex]1! + 2! + 3! + \\ldots + 100![\/tex] ? Solu\u00e7\u00e3o 1 Perceba que toda multiplica\u00e7\u00e3o de inteiros que possui um fator [tex]2[\/tex] e um fator [tex]5[\/tex] tem como produto um m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex]. 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