{"id":7762,"date":"2013-08-07T13:42:50","date_gmt":"2013-08-07T16:42:50","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=7762"},"modified":"2023-01-21T23:25:58","modified_gmt":"2023-01-22T02:25:58","slug":"problemao-um-quadrado-e-varios-circulos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-um-quadrado-e-varios-circulos\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Um quadrado e v\u00e1rios c\u00edrculos"},"content":{"rendered":"<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 8px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; line-height: 20px;\"> Temos um quadrado e quatro c\u00edrculos verdes grandes cujos di\u00e2metros medem a metade do lado do quadrado, como indicados na figura.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-6037 aligncenter\"  style=\"border: 0px;\" alt=\"quadrado com c\u00edrculos\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/quadrado-com-c\u00edrculos-300x300.png\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/quadrado-com-c\u00edrculos-300x300.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/quadrado-com-c\u00edrculos-150x150.png 150w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/quadrado-com-c\u00edrculos-1024x1024.png 1024w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/quadrado-com-c\u00edrculos.png 1081w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\n<strong>Como encontrar, por processos puramente geom\u00e9tricos (isto \u00e9, utilizando r\u00e9gua e compasso), os centros e os raios dos c\u00edrculos restantes?<\/span><\/strong>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 8px;font-family: verdana; color: #616161; line-height: 30px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><span style=\"font-family: 'Georgia'; font-size: 20px; color: #616161;\"><strong>Dicas<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nProblemas desse tipo sugerem que imaginemos a solu\u00e7\u00e3o pronta, para, ent\u00e3o, pensarmos como chegamos a ela. Ent\u00e3o, imagine onde est\u00e3o os centros dos c\u00edrculos sob an\u00e1lise &#8211; o que percebemos sobre eles, ou seja, que propriedades eles t\u00eam?<\/p>\n<ul>\n<li>Para o maior deles (o c\u00edrculo central), n\u00e3o \u00e9 dif\u00edcil localizar o centro (feito isso, determinar o raio com o compasso tamb\u00e9m n\u00e3o ser\u00e1 dif\u00edcil).<\/li>\n<li>Para os menores (nos cantos), uma ideia \u00e9 observar que o centro deve estar \u00e0 mesma dist\u00e2ncia do lado do quadrado e do ponto de tang\u00eancia com o c\u00edrculo verde. Isso remete a um outro lugar geom\u00e9trico precioso: a bissetriz (Mas de qual \u00e2ngulo?).<\/li>\n<li>Para os intermedi\u00e1rios (nas laterais), comece observando que o centro deve estar sobre as retas que passam pelos pontos m\u00e9dios dos lados do quadrado. O resto? Pense um pouquinho mais.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 8px;font-family: verdana; color: #616161; line-height: 30px; text-align:justify;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o <\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPara a resolu\u00e7\u00e3o deste problema \u00e9 fundamental que resgatemos, inicialmente, a constru\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica com r\u00e9gua e compasso de uma bissetriz. Para maiores detalhes, uma refer\u00eancia poss\u00edvel \u00e9 <\/p>\n<p style=\"text-align:center; line-height: 10px\"><a href=\"http:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Bissetriz\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #800000;\"><strong>http:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Bissetriz<\/strong><\/a>. <\/p>\n<p>Mas voc\u00ea tamb\u00e9m pode executar essa constru\u00e7\u00e3o com um applet, clicando no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><input class=\"bo1 c3 cb33 bg3\" value=\"APPLET\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=  \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar o applet';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'APPLET';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gris c3\"  style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 8px;font-size:16px; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 30px\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Com este applet voc\u00ea vai tra\u00e7ar a bissetriz do \u00e2ngulo de v\u00e9rtice <strong>O<\/strong> que aparece na tela inicial do aplicativo.<br \/>\nPara reproduzir a constru\u00e7\u00e3o em uma folha de papel, voc\u00ea s\u00f3 vai precisar de um l\u00e1pis, uma r\u00e9gua e um compasso!<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; padding: 15px; border-style: dotted; border-color :#800000; border-width :thin; font-family: Georgia, Times, 'Times New Roman', serif; font-size: 16px; text-align: justify; color: #616161; line-height: 25px;\"><strong>Instru\u00e7\u00f5es:<\/strong><br \/>\nPara executar a constru\u00e7\u00e3o \u00e9 s\u00f3 esperar o aplicativo carregar completamente e clicar sucessivamente nos quadradinhos que ir\u00e3o aparecer. Os cinco passos que voc\u00ea ir\u00e1 executar est\u00e3o descritos a seguir.<br \/>\n<strong>Passo 1:<\/strong> Centre o compasso no ponto <strong>O<\/strong> e trace uma circunfer\u00eancia <strong>c<\/strong> qualquer.<br \/>\n<strong>Passo 2:<\/strong> As interse\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia <strong>c<\/strong> com as semirretas que definem o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice <strong>O<\/strong> s\u00e3o os pontos <strong>A<\/strong> e <strong>B<\/strong>.<br \/>\n<strong>Passo 3:<\/strong> Centre o compasso em <strong>A<\/strong> e trace uma circunfer\u00eancia <strong>c<sub>A<\/sub><\/strong> com raio maior do que a metade do segmento <strong>AB<\/strong>. Com o mesmo raio, centre o compasso em <strong>B<\/strong> e trace uma circunfer\u00eancia <strong>c<sub>B<\/sub><\/strong>.<br \/>\n<strong>Passo 4:<\/strong>  As interse\u00e7\u00f5es entre <strong>c<sub>A<\/sub><\/strong> e <strong>c<sub>B<\/sub><\/strong> determinam os pontos <strong>C<\/strong> e <strong>D<\/strong>.<br \/>\n<strong>Passo 5:<\/strong> A bissetriz do \u00e2ngulo de v\u00e9rtice <strong>O<\/strong> \u00e9 a reta definida pelos pontos <strong>C<\/strong> (ou D) e <strong>O<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Um quadrado e v\u00e1rios c\u00edrculos (Bissetriz)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/kjxkevnc\/width\/603\/height\/679\/border\/888888\/sfsb\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"603px\" height=\"679px\" style=\"border:1px solid #800000;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size:14px\">OBMEP_srg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" >GeoGebra<\/a><\/span>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 30px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<span style=\"font-size: 16px; color: #800000\"><strong>Justificativas:<\/strong><\/span><\/p>\n<ul><strong>(1)<\/strong> Com a constru\u00e7\u00e3o da bissetriz do \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]O[\/tex], observe que ficam definidos os tri\u00e2ngulos [tex]\\triangle OAC[\/tex] (em alaranjado) e [tex]\\triangle OBC[\/tex] (em verde), conforme mostra a figura a seguir na qual denotamos por <strong>a<\/strong> e <strong>b<\/strong> as semirretas definidas pelos pontos  &rdquo;[tex]O[\/tex] e [tex]A[\/tex]&rdquo; e  &rdquo;[tex]O[\/tex] e [tex]B[\/tex]&rdquo;, respectivamente.<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/bissetriz-1-red.png\" style=\"border: 2px solid black;\" alt=\"bissetriz 1 red\" width=\"329\" height=\"333\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7783\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/bissetriz-1-red.png 329w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/bissetriz-1-red-296x300.png 296w\" sizes=\"auto, (max-width: 329px) 100vw, 329px\" \/><\/p>\n<p>Note que os tri\u00e2ngulos [tex]\\triangle OAC[\/tex] e [tex]\\triangle OBC[\/tex] s\u00e3o congruentes (iguais), j\u00e1 que eles t\u00eam todos lados congruentes (conven\u00e7a-se disso).<br \/>\nDa mesma forma, temos que [tex]\\triangle OAD[\/tex] e [tex]\\triangle OBD[\/tex]. Assim, temos que os \u00e2ngulos  [tex]\\angle BOC[\/tex] e  [tex]\\angle AOC[\/tex] s\u00e3o tamb\u00e9m congruentes e, portanto, a reta que passa por [tex]O[\/tex] e [tex]C[\/tex] (e tamb\u00e9m por [tex]D[\/tex]) est\u00e1 bem definida e \u00e9, de fato, a bissetriz de [tex]\\angle AOB[\/tex].<br \/>\n\t<strong>(2)<\/strong> Podemos tamb\u00e9m garantir que as dist\u00e2ncias de [tex]C[\/tex]  \u00e0s semirretas <strong>a<\/strong> e <strong>b<\/strong> s\u00e3o tamb\u00e9m iguais (o mesmo poderia ser dito com rela\u00e7\u00e3o ao ponto [tex]D[\/tex] ou qualquer outro ponto sobre a bissetriz em quest\u00e3o). Para justificar essa afirma\u00e7\u00e3o,  tomamos as perpendiculares \u00e0s semirretas <strong>a<\/strong> e <strong>b<\/strong>  que passam por [tex]C[\/tex] e marcamos na figura abaixo os pontos de intersec\u00e7\u00e3o por, respectivamente, por  [tex]M[\/tex]  e  [tex]N[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/bissetriz-3a-red.png\" style=\"border: 2px solid black;\" alt=\"bissetriz 3a red\" width=\"290\" height=\"215\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7791\" \/><br \/>\n<span style=\"font-family: verdana; color: #616161; line-height: 20px\">Observe que  [tex]\\triangle OMC \\equiv \\triangle ONC[\/tex] (temos dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos com \u00e2ngulos iguais e hipotenusas comuns) e, portanto, as dist\u00e2ncias [tex]CM[\/tex] e [tex]CN[\/tex] s\u00e3o iguais.<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nAgora, podemos resolver o problema.<\/p>\n<p style=\"margin:10px;text-align: justify;\"><strong>[tex]\\bullet[\/tex] Centro e raio do c\u00edrculo central:<\/strong><br \/>\nPara determinarmos o <strong>centro <\/strong>deste c\u00edrculo, basta tomarmos o ponto de intersec\u00e7\u00e3o entre as diagonais do quadrado; o <strong>raio<\/strong>, neste caso, \u00e9 a medida do centro ao ponto de intersec\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia com uma das diagonais do quadrado.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/quadrado-com-c\u00edrculos-2-circ-maior-b.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"quadrado com c\u00edrculos 2 circ maior b\" width=\"292\" height=\"291\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7793\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/quadrado-com-c\u00edrculos-2-circ-maior-b.png 292w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/quadrado-com-c\u00edrculos-2-circ-maior-b-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 292px) 100vw, 292px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px;text-align: justify;\"><strong> [tex]\\bullet[\/tex] Centro e raio dos c\u00edrculos menores:<\/strong><br \/>\nInicialmente, observemos que o centro de qualquer um dos c\u00edrculos de interesse estar\u00e1 \u00e0 mesma dist\u00e2ncia <strong>d<\/strong> do lado superior do quadrado e do ponto de tang\u00eancia [tex]T[\/tex] entre os c\u00edrculos roxo e verde. O ponto [tex]T[\/tex] nada mais \u00e9 do que a intersec\u00e7\u00e3o entre a diagonal do quadrado e as circunfer\u00eancias em quest\u00e3o.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/sol-quadrado-com-c\u00edrculos1e-.png\" style=\"border: 2px solid black;\" alt=\"sol quadrado com c\u00edrculos1e\" width=\"290\" height=\"285\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7802\" \/><br \/>\nLogo, se tra\u00e7armos a reta tangente aos c\u00edrculos em [tex]T[\/tex] (para isto, basta tomarmos uma perpendicular \u00e0 diagonal, passando por [tex]T[\/tex] &#8211; se voc\u00ea n\u00e3o sabe como construir uma perpendicular com r\u00e9gua e compasso, pode visitar a solu\u00e7\u00e3o do problema <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-usando-regua-e-compasso\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#8220;Usando r\u00e9gua e compasso&#8221;<\/a>, que est\u00e1 dispon\u00edvel nas nossas Salas de Problemas), constatamos que o ponto desejado deve estar \u00e0 mesma dist\u00e2ncia dos lados [tex]\\overline{PT}[\/tex] e [tex]\\overline{PR}[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]PRT[\/tex],  ou seja, para determin\u00e1-lo devemos tomar o ponto de intersec\u00e7\u00e3o entre a diagonal e a bissetriz de [tex]\\angle TPR[\/tex]. Para o raio, basta considerar a dist\u00e2ncia do centro do c\u00edrculo em quest\u00e3o at\u00e9 o ponto [tex]T[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/sol-quadrado-com-c\u00edrculos2-.png\"  style=\"border: 2px solid black;\" alt=\"sol quadrado com c\u00edrculos2\" width=\"310\" height=\"315\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7816\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/sol-quadrado-com-c\u00edrculos2-.png 310w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/sol-quadrado-com-c\u00edrculos2--295x300.png 295w\" sizes=\"auto, (max-width: 310px) 100vw, 310px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px;text-align: justify;\"><strong>[tex]\\bullet[\/tex] Centro e raio dos c\u00edrculos intermedi\u00e1rios:<\/strong><br \/>\nMais uma vez, o ideal \u00e9 que observemos que propriedades ter\u00e1 o ponto que procuramos determinar. Naturalmente que o centro do c\u00edrculo de interesse estar\u00e1 sobre a reta que passa pelos pontos m\u00e9dios dos lados paralelos do quadrado. Al\u00e9m disso, note que ele estar\u00e1 \u00e0 mesma dist\u00e2ncia dos centros dos c\u00edrculos verdes (que podem ser facilmente determinados pelas intersec\u00e7\u00f5es das retas que passam pelos quartos dos lados paralelos do quadrado).<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/sol-quadrado-com-c\u00edrculos3c.png\"  style=\"border: 2px solid black;\" alt=\"sol quadrado com c\u00edrculos3c\" width=\"296\" height=\"273\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7815\" \/><br \/>\nSendo assim, com a medida do raio dos c\u00edrculos verdes, a partir do ponto [tex]E[\/tex] (ponto de intersec\u00e7\u00e3o entre o lado do quadrado e a reta que passa pelo pontos m\u00e9dios de seus lados), marcamos o ponto [tex]L[\/tex], que estar\u00e1, ent\u00e3o, \u00e0 mesma dist\u00e2ncia do centro do c\u00edrculo (roxo), em rela\u00e7\u00e3o aos centros [tex]J[\/tex] e [tex]K[\/tex] dos c\u00edrculos verdes. Finalmente, constru\u00edmos a mediatriz do segmento [tex]\\overline{LK}[\/tex] e teremos o centro do c\u00edrculo procurado (para entender melhor por que a mediatriz resolve, voc\u00ea pode consultar a resolu\u00e7\u00e3o do problema &#8220;Usando r\u00e9gua e compasso&#8221; j\u00e1 referenciada anteriormente). Para o raio, basta tomar a medida do centro at\u00e9 o ponto [tex]E[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/sol-quadrado-com-c\u00edrculos3d.png\" style=\"border: 2px solid black;\" alt=\"sol quadrado com c\u00edrculos3d\" width=\"282\" height=\"276\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7821\" \/><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong> Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Temos um quadrado e quatro c\u00edrculos verdes grandes cujos di\u00e2metros medem a metade do lado do quadrado, como indicados na figura. Como encontrar, por processos puramente geom\u00e9tricos (isto \u00e9, utilizando r\u00e9gua e compasso), os centros e os raios dos c\u00edrculos restantes? &nbsp; Dicas Problemas desse &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-um-quadrado-e-varios-circulos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":165,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-7762","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/7762","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/165"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7762"}],"version-history":[{"count":68,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/7762\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":183307,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/7762\/revisions\/183307"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7762"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}