{"id":77211,"date":"2017-05-28T19:52:59","date_gmt":"2017-05-28T22:52:59","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=77211"},"modified":"2023-04-07T05:49:18","modified_gmt":"2023-04-07T08:49:18","slug":"problemao-remocao-de-um-digito","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-remocao-de-um-digito\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Remo\u00e7\u00e3o de um d\u00edgito"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nDetermine o menor inteiro positivo tal que, quando o seu d\u00edgito mais \u00e0 esquerda for removido, o n\u00famero que resulta desta opera\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{29}[\/tex] do inteiro original.<\/div>\n

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\n

Lembretes amigos <\/p>\n\n\n
\"explicador_p\" <\/td>\n\n

(1) <\/strong>Sejam [tex]a, \\, b, \\, p[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]p[\/tex] primo.
\nSe o produto [tex]a\\cdot b[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]p[\/tex] e [tex]a[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]p[\/tex], ent\u00e3o [tex]b[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]p[\/tex].<\/p>\n

\n

(2) <\/strong>Nenhum n\u00famero da forma [tex]10^n[\/tex], [tex]n[\/tex] natural, \u00e9 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex]; pois, como [tex]10^n=(2\u22c55)^n=2^n\\cdot5^n[\/tex], o n\u00famero [tex]10^n[\/tex] n\u00e3o possui o fator primo [tex]7[\/tex] em sua decomposi\u00e7\u00e3o em um produto de primos.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

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\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nVamos \u00e0 solu\u00e7\u00e3o!
\nSuponha que o n\u00famero original em quest\u00e3o seja dado por [tex]X=a_na_{n\u22121}\\cdots a_1a_0[\/tex], onde os [tex]a_i’s[\/tex] s\u00e3o os d\u00edgitos do n\u00famero e o primeiro d\u00edgito \u00e0 esquerda, [tex]a_n[\/tex], \u00e9 diferente de zero. Com isso, o n\u00famero criado a partir da opera\u00e7\u00e3o de remover o d\u00edgito [tex]a_n[\/tex] de [tex]X[\/tex] \u00e9
\n [tex]\\qquad Y=\\xcancel{{\\color{red}a_n}}a_{n\u22121}\\cdots a_1a_0[\/tex].
\nAssim, [tex]Y=a_{n\u22121}\u2026a_1a_0[\/tex] e, pela hip\u00f3tese do problema, [tex]\\boxed {X=29Y} \\, \\, {\\color{#800000}(i)}[\/tex].
\nMas, observe que:
\n[tex]\\quad X=a_na_{n\u22121}\\cdots a_1a_0=\\boxed{a_n 10^n+a_{n-1}10^{n-1}+ \\cdots +a_ 1 10 + a_0} [\/tex]
\ne
\n[tex]\\quad Y=a_{n\u22121}\\cdots a_1a_0=\\boxed{a_{n-1}10^{n-1}+ \\cdots +a_ 1 10 + a_0} [\/tex],
\n logo
\n[tex]\\quad X=a_n 10^n+\\left[a_{n-1}10^{n-1}+ \\cdots +a_ 1 10 + a_0 \\right]=a_n10^n + Y[\/tex]
\ne, dessa forma, [tex]\\boxed{X=Y+a_n10^n} \\, \\, {\\color{#800000}(ii)}[\/tex].<\/p>\n

\n

De [tex]{\\color{#800000}(i)}[\/tex] e [tex]{\\color{#800000}(ii)}[\/tex], segue que [tex]Y + a_n 10^n = 29Y[\/tex] e, portanto, [tex]\\boxed{a_n 10^n = 28Y} \\, \\, {\\color{#800000}(iii)}[\/tex].<\/p>\n

\n

Perceba, agora, que o n\u00famero [tex]28Y[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex]; logo, de [tex]{\\color{#800000}(iii)}[\/tex], segue que [tex]a_n \\cdot 10^n[\/tex] tamb\u00e9m o \u00e9. Mas veja que o n\u00famero [tex]10^n[\/tex] nunca ser\u00e1 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex], segundo o lembrete (2); portanto, como [tex]7[\/tex] \u00e9 primo, ent\u00e3o [tex]a_n[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]7[\/tex], gra\u00e7as ao lembrete (1). Sendo [tex]a_n[\/tex] um d\u00edgito diferente de zero, a \u00fanica possibilidade de [tex]a_n[\/tex] ser divis\u00edvel por [tex]7[\/tex] \u00e9 [tex]a_n=7[\/tex].<\/p>\n

\n

Assim, de [tex]{\\color{#800000}(iii)}[\/tex], segue que [tex]7 \\times 10^n=28Y[\/tex], ou seja [tex]10^n=4Y \\, \\, {\\color{#800000}(iv)}[\/tex].<\/p>\n

\n

Pronto, j\u00e1 temos o suficiente, pois as igualdades [tex]{\\color{#800000}(i)} \\, [\/tex] e [tex] \\, {\\color{#800000}(iv)}[\/tex] bastam para determinarmos o menor inteiro positivo [tex]X[\/tex] que satisfaz as condi\u00e7\u00f5es do problema. Com efeito, a igualdade [tex]X=29Y[\/tex] nos mostra que, para minimizarmos [tex]X[\/tex], devemos minimizar [tex]Y[\/tex]<\/strong>; e a igualdade [tex]10^n=4Y[\/tex] nos mostra que, para minimizarmos [tex]Y[\/tex], devemos encontrar o menor valor positivo de [tex]n[\/tex] de modo que [tex]Y[\/tex] seja inteiro positivo<\/strong>.
\nEnt\u00e3o, vamos l\u00e1: <\/p>\n