Problema \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Dessa forma, a crian\u00e7a ter\u00e1 colocado Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube 1uik<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube LOKOS MATEM\u00c1TICOS<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Para pensar. . . <\/p>\n \n Ser\u00e1 sempre verdade que [tex]\\boxed{2^0+2^1+\\cdots +2^{n-2}+2^{n-1}=2^n-1}[\/tex]? \n Para conhecer. . . <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nUma crian\u00e7a brinca com um grande tabuleiro de xadrez [tex]8 \\times 8[\/tex] estendido no piso da sala de sua casa, como mostrado na figura, e uma grande quantidade de gr\u00e3os de feij\u00e3o. Ela coloca um gr\u00e3o na casa de n\u00famero [tex]1[\/tex], dois gr\u00e3os na casa de n\u00famero [tex]2[\/tex], quatro gr\u00e3os na casa de n\u00famero [tex]3[\/tex], oito gr\u00e3os na casa de n\u00famero [tex]4[\/tex] e assim sucessivamente at\u00e9 a casa de n\u00famero [tex]64[\/tex].<\/p>\n![\"Feij\u00e3o\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Feij\u00e3o.png\")
\nQuantos gr\u00e3os de feij\u00e3o a crian\u00e7a ter\u00e1 colocado at\u00e9 a 10\u00aa casa?<\/strong><\/div>\n
\nA crian\u00e7a colocar\u00e1 na primeira casa [tex]1[\/tex] feij\u00e3o e a partir dessa casa passar\u00e1 a colocar o dobro na pr\u00f3xima. Assim, podemos dizer que:<\/p>\n\n
\n[tex]\\quad 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 =\\\\
\n\\qquad \\quad = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 =[\/tex]
\n[tex] \\qquad \\quad =1023[\/tex] feij\u00f5es.<\/p>\n
\n
\nA crian\u00e7a ter\u00e1 colocado, at\u00e9 a d\u00e9cima casa, 1023 feij\u00f5es.
\n De fato, 1+1 \u00e9 2, por isso na segunda casa ela coloca 2 feij\u00f5es. Tamb\u00e9m, 2+2= 4, por isso ela coloca 4 feij\u00f5es na terceira casa. Continuando, 4+4=8, ent\u00e3o na quarta casa ela colocar\u00e1 8 feij\u00f5es. Seguindo este pensamento, na d\u00e9cima casa ela colocar\u00e1 512 feij\u00f5es.
\nSomando todos os feij\u00f5es das casas de 1 a 10, ela ter\u00e1 colocado, at\u00e9 a d\u00e9cima casa, 1023 feij\u00f5es.<\/p>\n
\n
\nNo problema apareceu a soma
\n[tex]\\qquad 2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9=1023[\/tex].
\nMas [tex]1023=1024-1=2^{10}-1[\/tex], logo
\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9=2^{10}-1}[\/tex]<\/p>\n
\n![\"carinha19\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/04\/carinha19.jpg\")
<\/p>\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n