{"id":75320,"date":"2017-05-02T19:26:08","date_gmt":"2017-05-02T22:26:08","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=75320"},"modified":"2023-04-07T05:32:36","modified_gmt":"2023-04-07T08:32:36","slug":"problemao-raizes-da-cubica","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-raizes-da-cubica\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o:  Ra\u00edzes da C\u00fabica"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nEscreva uma das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]8x^3 &#8211; 3x^2 &#8211; 3x &#8211; 1 = 0[\/tex] na forma [tex]\\dfrac{\\sqrt[3]a + \\sqrt[3]b + 1}{c}[\/tex], com [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] inteiros positivos. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<div class=\"gr1 cb36\" style=\"width:82%;color: #616161;\">Para resolver este problema, faremos uso de dois produtos not\u00e1veis importantes:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]  (z+1)^3=z^3+3z^2+3z+1 \\qquad [\/tex] <span class=\"c3\">(I)<\/span><\/li>\n<li>[tex]  z^3-t^3 = (z-t)(z^2+zt+t^2). \\qquad [\/tex] <span class=\"c3\">(II)<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Para relembrar este e outros produtos not\u00e1veis, voc\u00eas podem conferir a <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudos-malabarismos-aritmeticos-e-algebricos\/\" target=\"_blank\"><strong>Sala de Estudos Malabarismos Aritm\u00e9ticos e Alg\u00e9bricos<\/strong><\/a>.<br \/>\nQue tal come\u00e7armos por l\u00e1? Voc\u00ea sabe todos os produtos not\u00e1veis? <\/p>\n<p class=\" ti3 c3\">Ent\u00e3o, vamos em frente para resolver o problema!<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Veja que a nossa equa\u00e7\u00e3o original<br \/>\n[tex]\\qquad 8x^3 &#8211; 3x^2 &#8211; 3x &#8211; 1 = 0[\/tex]<br \/>\n\u00e9 equivalente \u00e0 equa\u00e7\u00e3o<br \/>\n[tex]\\qquad 8x^3=3x^2+3x+1[\/tex].<br \/>\nSomando [tex]x^3[\/tex] dos dois lados, ficamos com<br \/>\n[tex]\\qquad 9x^3 =x^3+3x^2+3x+1[\/tex]<br \/>\ne isso nos d\u00e1<br \/>\n[tex]\\qquad 9x^3=(x+1)^3[\/tex], devido \u00e0 identidade <span class=\"c3\">(I)<\/span>.<br \/>\nEnt\u00e3o, segue que<br \/>\n[tex]\\qquad x\\sqrt[3]{9} = x+1[\/tex].<br \/>\nResolvendo esta equa\u00e7\u00e3o para [tex]x[\/tex], temos que<br \/>\n[tex]\\qquad x(\\sqrt[3]9-1)=1[\/tex],<br \/>\ndonde [tex] \\boxed{x=\\dfrac{1}{\\sqrt[3]{9}\u22121}}[\/tex].<br \/>\nVamos, agora, racionalizar o denominador [tex] \\sqrt[3]{9}\u22121[\/tex]. Para isso, observe que se fizermos [tex]z= \\sqrt[3]{9}[\/tex],  [tex]t=1[\/tex] e utilizarmos a identidade <span class=\"c3\">(II)<\/span>, teremos que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p>[tex]\\quad  \\begin{align*}\\sqrt[3]{9}\u22121=z-t &#038;\\stackrel{(II)}{=} \\dfrac{z^3-t^3}{z^2+zt+t^2}\\\\<br \/>\n&#038;=\\dfrac{\\left(\\sqrt[3]{9}\\right)^3-1^3}{\\left(\\sqrt[3]{9}\\right)^2+\\sqrt[3]{9}\\cdot 1+1^2}\\\\<br \/>\n&#038;=\\dfrac{9-1}{\\sqrt[3]{9^2}+\\sqrt[3]{9}+1}=\\dfrac{8}{\\sqrt[3]{81}+\\sqrt[3]{9}+1}.\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Assim, [tex] \\, \\dfrac{1}{\\sqrt[3]{9}\u22121}=\\dfrac{\\sqrt[3]{81}+\\sqrt[3]{9}+1}{8}[\/tex] e, ent\u00e3o, [tex] \\, \\boxed{x=\\dfrac{\\sqrt[3]{81}+\\sqrt[3]{9}+1}{8}}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<p>Dessa forma, podemos fazer [tex]a=81,b=9,c=8[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Escreva uma das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]8x^3 &#8211; 3x^2 &#8211; 3x &#8211; 1 = 0[\/tex] na forma [tex]\\dfrac{\\sqrt[3]a + \\sqrt[3]b + 1}{c}[\/tex], com [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] inteiros positivos. Solu\u00e7\u00e3o Para resolver este problema, faremos uso de dois produtos not\u00e1veis importantes: [tex] (z+1)^3=z^3+3z^2+3z+1 \\qquad [\/tex] &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-raizes-da-cubica\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-75320","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/75320","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=75320"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/75320\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186476,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/75320\/revisions\/186476"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=75320"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}