Problema O m\u00e1gico entrega um baralho a um membro da plateia e solicita que este embaralhe as 52 cartas do baralho, retire aleatoriamente cinco cartas e entregue-as \u00e0 sua assistente. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Dessa forma, individualmente as cartas est\u00e3o associadas a n\u00fameros; agora, o nosso pr\u00f3ximo passo ser\u00e1 olh\u00e1-las em grupos de quatro e de alguma forma vincular o valor associado a uma carta qualquer do baralho a quatro outras cartas quaisquer. Vamos l\u00e1! \n Perfeito, com quatro cartas pudemos produzir [tex]24[\/tex] n\u00fameros, s\u00f3 que precisamos de [tex]52[\/tex]. Por exemplo, as sequ\u00eancias [tex]X\\boxed{cbad}[\/tex] e [tex]\\boxed{cbad}X[\/tex] correspondem, respectivamente, aos n\u00fameros [tex]15 \\, [\/tex] e [tex] \\, 15 + 24 = 39[\/tex] que s\u00e3o, nesta ordem, as cartas [tex]2[\/tex] de espadas e [tex]\\mathbf K[\/tex] de ouros. Pronto, todas as cartas do baralho est\u00e3o identificadas pela posi\u00e7\u00e3o de quatro cartas quaisquer, a partir do ordenamento em ordem crescente dos n\u00fameros a elas associados e da posi\u00e7\u00e3o da carta oculta Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Um m\u00e1gico e sua assistente realizam um truque com cartas. O m\u00e1gico entrega um baralho a um membro da plateia e solicita que este embaralhe as 52 cartas do baralho, retire aleatoriamente cinco cartas e entregue-as \u00e0 sua assistente. A assistente olha as cartas e … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nUm m\u00e1gico e sua assistente realizam um truque com cartas.
\n![\"f65\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/f65.png\")
<\/p>\n
\nA assistente olha as cartas e as coloca em uma fila, da esquerda para a direita: uma com a face voltada para baixo (n\u00e3o necessariamente a primeira) e as outras com a face para cima.
\nO m\u00e1gico deve adivinhar a carta que est\u00e1 com a face para baixo.
\nProve que \u00e9 poss\u00edvel definir um esquema que permita que o m\u00e1gico sempre adivinhe qual \u00e9 a carta misteriosa…<\/strong><\/p>\n
\nA ideia \u00e9 tentar criar algum c\u00f3digo que permita a “comunica\u00e7\u00e3o” entre o m\u00e1gico e a sua assistente.
\nPara isso, vamos inicialmente fazer uma correspond\u00eancia entre as cartas do baralho e os n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]52[\/tex] do seguinte modo: <\/p>\n
\n[tex] (\\mathbf{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}) \\Longleftrightarrow (\\mathbf{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 })[\/tex]<\/span><\/li>\n
\n[tex] (\\mathbf{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}) \\Longleftrightarrow (\\mathbf{14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 })[\/tex]<\/span><\/li>\n
\n[tex] (\\mathbf{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}) \\Longleftrightarrow (\\mathbf{27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39})[\/tex]<\/span><\/li>\n
\n[tex](\\mathbf{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}) \\Longleftrightarrow (\\mathbf{40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52 })[\/tex]<\/span><\/li>\n
\nDadas quatro cartas do baralho, vamos usar o n\u00famero associado a cada uma delas e coloc\u00e1-las em ordem num\u00e9rica crescente. Para um melhor entendimento da estrat\u00e9gia a ser elaborada, vamos denotar as cartas devidamente ordenadas por [tex]a, b, c, d[\/tex]: [tex]a[\/tex] \u00e9 a carta com menor valor num\u00e9rico associado dentre as quatro e [tex]d[\/tex], a maior. Observe que podemos permutar cada escolha de quatro cartas [tex]\\{a, b, c, d\\}[\/tex] de [tex]4![\/tex] modos. Estes [tex]4![\/tex] modos podem ser ordenados, por exemplo, tomando a ordem lexicogr\u00e1fica (isto \u00e9, a ordem do dicion\u00e1rio).
\nImagine que as permuta\u00e7\u00f5es foram colocadas em um dicion\u00e1rio. A sequ\u00eancia [tex]abcd[\/tex] seria a primeira a aparecer, [tex]abdc[\/tex] seria a segunda, enquanto [tex]dcba[\/tex] seria a \u00faltima. A seguir, fazemos corresponder a cada permuta\u00e7\u00e3o a sua posi\u00e7\u00e3o no dicion\u00e1rio. Deste modo, a ordem [tex]abcd[\/tex] corresponde ao n\u00famero [tex]1[\/tex], enquanto [tex]cbad[\/tex] e [tex]dcba[\/tex] correspondem aos n\u00fameros [tex]15[\/tex] e [tex]24[\/tex], respectivamente. Observe:<\/p>\n\n
\n& abcd \\longleftrightarrow 1 & \\qquad bacd \\longleftrightarrow 7 & \\qquad cabd \\longleftrightarrow 13 & \\qquad dabc \\longleftrightarrow 19\\\\
\n& abdc \\longleftrightarrow 2 & \\qquad badc \\longleftrightarrow 8 & \\qquad cadb \\longleftrightarrow 14 & \\qquad dacb \\longleftrightarrow 20\\\\
\n& acbd \\longleftrightarrow 3 & \\qquad bcad \\longleftrightarrow 9 & \\qquad cbad \\longleftrightarrow 15 & \\qquad dbac \\longleftrightarrow 21\\\\
\n& acdb \\longleftrightarrow 4 & \\qquad bcda \\longleftrightarrow 10 & \\qquad cbda \\longleftrightarrow 16 & \\qquad dbca \\longleftrightarrow 22\\\\
\n& adbc \\longleftrightarrow 5 & \\qquad bdac \\longleftrightarrow 11 & \\qquad cdab \\longleftrightarrow 17 & \\qquad dcab \\longleftrightarrow 23\\\\
\n& adcb \\longleftrightarrow 6 & \\qquad bdca \\longleftrightarrow 12 & \\qquad cdba \\longleftrightarrow 18 & \\qquad dcba \\longleftrightarrow 24\\\\
\n\\end{array}\\end{cases}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\nBem, podemos dobrar a quantidade de n\u00fameros dobrando a quantidade de sequ\u00eancias formadas com as quatro cartas colocando a carta oculta antes ou depois do bloco de quatro cartas.
\nSeja [tex]X[\/tex] a carta oculta:<\/p>\n\n
\nDeste modo, conseguimos gerar [tex]2 \\times 4! = 48[\/tex] poss\u00edveis c\u00f3digos que permitem codificar e decodificar qualquer uma das [tex]52 – 4 = 48[\/tex] primeiras cartas do baralho ordenado.
\nFaltam, agora, apenas c\u00f3digos para as quatro \u00faltimas cartas: [tex]\\mathbf{10}[\/tex]<\/strong>, [tex]\\mathbf {J}[\/tex], [tex]\\mathbf Q[\/tex] e [tex]\\mathbf K[\/tex] de paus. Vamos a eles:<\/p>\n\n
\nVejamos um exemplo: suponhamos que algu\u00e9m da plateia escolheu as cartas [tex]3[\/tex] de ouros, [tex]\\mathbf J[\/tex] de espadas, [tex]\\mathbf Q[\/tex] de copas, [tex]4[\/tex] de paus e [tex]10[\/tex] de ouros. Admita que a assistente resolveu esconder a carta [tex]4[\/tex] de paus<\/strong><\/span> (carta [tex]43[\/tex]).
\n(1)<\/strong> Colocando as outras quatro cartas em ordem crescente dos n\u00fameros associados a elas, obtemos:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{align*}
\n{\\mathbf Q}\\heartsuit & \\Leftrightarrow a\\\\
\n{\\mathbf J} \\spadesuit &\\Leftrightarrow b\\\\
\n3 \\diamondsuit &\\Leftrightarrow c\\\\
\n10 \\diamondsuit &\\Leftrightarrow d \\end{align*}[\/tex]
\n(2)<\/strong> Como [tex]24 \\lt 43 \\le 48[\/tex], a assistente deve colocar a carta misteriosa ap\u00f3s o bloco de cartas. Al\u00e9m disso, [tex]43 – 24 = 19.[\/tex]
\n(3)<\/strong> No nosso dicion\u00e1rio, [tex]19[\/tex] corresponde \u00e0 sequ\u00eancia [tex]dabc[\/tex], ent\u00e3o a sequ\u00eancia a ser mostrada deve ser [tex]dabcX[\/tex].
\n(4)<\/strong> Portanto, a assistente do m\u00e1gico deve mostrar a seguinte sequ\u00eancia de cartas:
\n[tex] \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, 10\\diamondsuit\\quad {\\mathbf Q}\\heartsuit\\quad {\\mathbf J}\\spadesuit \\quad 3\\diamondsuit\\quad X[\/tex]<\/span>
\n(5)<\/strong> O m\u00e1gico v\u00ea a sequ\u00eancia
\n[tex] \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, 10\\diamondsuit\\quad {\\mathbf Q}\\heartsuit\\quad {\\mathbf J}\\spadesuit \\quad 3\\diamondsuit\\quad X[\/tex]<\/span>
\ne mentalmente coloca as quatro cartas com as faces voltadas para cima em ordem crescente dos n\u00fameros associados a elas:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{align*}
\n{\\mathbf Q}\\heartsuit & \\Leftrightarrow a\\\\
\n{\\mathbf J} \\spadesuit &\\Leftrightarrow b\\\\
\n3 \\diamondsuit &\\Leftrightarrow c\\\\
\n10 \\diamondsuit &\\Leftrightarrow d \\end{align*}[\/tex]
\n(6)<\/strong> O m\u00e1gico interpreta, ent\u00e3o, a sequ\u00eancia de cartas
\n[tex] \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, 10\\diamondsuit\\quad {\\mathbf Q}\\heartsuit\\quad {\\mathbf J}\\spadesuit \\quad 3\\diamondsuit\\quad X[\/tex]<\/span>
\ncomo [tex]dabcX[\/tex] e observa que, no nosso dicion\u00e1rio, [tex]dabc[\/tex] corresponde ao n\u00famero [tex]19[\/tex].
\n(7)<\/strong> Como a carta misteriosa est\u00e1 ap\u00f3s o bloco de cartas, a sequ\u00eancia [tex]dabcX[\/tex] corresponde ao n\u00famero [tex]24 + 19 = 43[\/tex].
\n(8)<\/strong> O n\u00famero [tex] 43[\/tex] no nosso dicion\u00e1rio correspondente \u00e0 carta [tex]4[\/tex] de paus<\/strong><\/span>.<\/p>\n
\n