{"id":74069,"date":"2017-04-06T23:51:04","date_gmt":"2017-04-07T02:51:04","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=74069"},"modified":"2023-04-07T05:34:48","modified_gmt":"2023-04-07T08:34:48","slug":"problema-dividindo-um-quadrado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-dividindo-um-quadrado\/","title":{"rendered":".Problema: Dividindo um quadrado"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n(a)<\/strong> Prove que um quadrado pode ser dividido em 2016 quadrados.
\n(b)<\/strong> Um quadrado pode ser dividido em 2017 quadrados?
\nPor exemplo, a figura abaixo mostra um quadrado dividido em 7 quadrados.<\/p>\n

\"f053\"\n<\/div>\n

\n

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Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\n
Observe, inicialmente, que uma configura\u00e7\u00e3o qualquer na qual um quadrado est\u00e1 dividido em [tex]N[\/tex] quadrados pode ser alterada de modo que a nova configura\u00e7\u00e3o tenha [tex]N+3[\/tex] quadrados.
\nDe fato, basta dividir um quadrado qualquer em quatro iguais: a nova configura\u00e7\u00e3o ganha quatro quadrados menores e perde um dos quadrados iniciais.<\/div>\n<\/p>\n

Assim, dividindo um quadrado em [tex]9[\/tex] quadrados, <\/p>\n

<\/p>\n

podemos obter configura\u00e7\u00f5es com [tex]12, 15, 18[\/tex] quadrados<\/p>\n

\"f69\"<\/p>\n

\n

e todos os m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] subsequentes, incluindo [tex]2016[\/tex].
\nPara [tex]2017[\/tex] a solu\u00e7\u00e3o \u00e9 id\u00eantica, bastando alterar a configura\u00e7\u00e3o inicial. Come\u00e7ando com quatro quadrados, <\/p>\n

\"f057\"<\/p>\n

obtemos configura\u00e7\u00f5es para [tex]7,10, 13[\/tex], …, <\/p>\n

\"f058\" <\/p>\n

isto \u00e9, todos os n\u00fameros que deixam resto [tex]1[\/tex] ao serem divididos por [tex]3[\/tex], incluindo [tex]2017[\/tex].<\/p>\n

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\n

Na verdade, pode-se dividir um quadrado em qualquer n\u00famero de quadrados maior do que cinco. Veja:<\/p>\n\n\n\n\n
\n

\"f059\"<\/td>\n

\nA partir desta divis\u00e3o de um quadrado qualquer em seis quadrados internos, podemos obter a divis\u00e3o do quadrado inicial em [tex]3n[\/tex] quadrados internos, para qualquer n\u00famero natural [tex]n[\/tex] maior do que [tex]1[\/tex] ( [tex]\\forall n \\in \\mathbb{N}, \\, n \\gt 1[\/tex]).<\/td>\n<\/tr>\n
\n

\"f60\"<\/p>\n<\/td>\n

\nA partir desta divis\u00e3o de um quadrado qualquer em sete quadrados internos, podemos obter a divis\u00e3o do quadrado inicial em [tex]3n+1[\/tex] quadrados internos, para qualquer n\u00famero natural [tex]n[\/tex] maior do que [tex]1[\/tex] ( [tex]\\forall n \\in \\mathbb{N}, \\, n \\gt 1[\/tex]).<\/td>\n<\/tr>\n
\n

\"f61\"<\/p>\n<\/td>\n

\nA partir desta divis\u00e3o de um quadrado qualquer em oito quadrados internos, podemos obter a divis\u00e3o do quadrado inicial em [tex]3n+2[\/tex] quadrados internos, para qualquer n\u00famero natural [tex]n[\/tex] maior do que [tex]1[\/tex] ( [tex]\\forall n \\in \\mathbb{N}, \\, n \\gt 1[\/tex]).<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nObserve que podemos dividir um quadrado em no m\u00ednimo [tex]4[\/tex] quadrados. A partir da\u00ed, podemos dividir um dos quadrados menores em outros quatro quadrados, desse modo teremos [tex]4 + 3[\/tex] quadrados, isso porque adicionamos quatro quadrados, mas subtra\u00edmos um. Podemos fazer isso com outro quadrado, obtendo [tex]4 + 6[\/tex] quadrados, com outro quadrado obtendo [tex]4 + 9[\/tex] quadrados, com outro quadrado obtendo [tex]4 + 12[\/tex] quadrados etc.
\nDesse modo, \u00e9 poss\u00edvel concluir que um quadrado pode ser dividido em [tex]4 + 3n[\/tex] quadrados, [tex]n[\/tex] natural. De acordo com isso, podemos dividir um quadrado em [tex]2017[\/tex] quadrados.
\nAgora, em vez de come\u00e7ar dividindo um quadrado em outros [tex]4[\/tex] quadrados, n\u00f3s podemos come\u00e7ar dividindo em [tex]9[\/tex] quadrados. A partir da\u00ed basta dividir os quadrados menores em [tex]4[\/tex]. Neste caso n\u00f3s podemos dividir um quadrado em [tex]9 + 3x[\/tex] quadrados, [tex]x[\/tex] natural, o que \u00e9 exatamente [tex]2016[\/tex]:
\n[tex]\\qquad 2016 = 9 + 3x[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2016 – 9 = 3x[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2007 = 3x[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\dfrac{2007}{3} = x[\/tex]
\n[tex]\\qquad 669 = x[\/tex]
\nCom isso provamos o item (a) e respondemos positivamente o item (b).<\/strong><\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM 1uik<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

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Aprofundando a discuss\u00e3o . . .<\/p>\n

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Podemos observar que no enunciado do problema n\u00e3o existe a restri\u00e7\u00e3o de que os quadrados resultantes da divis\u00e3o tenham medidas diferentes entre si.
\nPerceba que, com essa restri\u00e7\u00e3o, as divis\u00f5es em [tex]9, 12, 15, 18[\/tex] quadrados que fizemos n\u00e3o estariam corretas,<\/p>\n

\"f62\"<\/p>\n

assim como as divis\u00f5es feitas em [tex]4, 7,10, 13[\/tex] quadrados.<\/p>\n

\"f63\"<\/p>\n

Observe que a argumenta\u00e7\u00e3o de que “uma configura\u00e7\u00e3o qualquer na qual um quadrado est\u00e1 dividido em [tex]N[\/tex] quadrados pode ser alterada de modo que a nova configura\u00e7\u00e3o tenha [tex]N+3[\/tex] quadrados” n\u00e3o ser\u00e1 correta se exigirmos quadrados com medidas diferentes: ao dividirmos um dos quadrados iniciais com tamanhos diferentes em quatro outros quadrados, estes quatro ter\u00e3o lados com o mesmo comprimento.<\/p>\n

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\n
\n

\n

O problema de se dividir um quadrado em quadrados menores, todos com tamanhos distintos, \u00e9 chamado de dissec\u00e7\u00e3o perfeita de um quadrado<\/strong><\/em> e \u00e9 algo n\u00e3o trivial de se fazer. Nesse tipo de problema, \u00e9 usual se trabalhar com quadrados cujos comprimentos dos lados s\u00e3o n\u00fameros inteiros positivos. <\/p>\n

\n

\nQue tal voc\u00ea pensar em como fazer uma dissec\u00e7\u00e3o perfeita de um quadrado em [tex]21[\/tex] quadrados menores, todos com tamanhos diferentes?
\nIsso seria como montar um quadrado com [tex]21[\/tex] quadrados menores, todos com lados de medidas inteiras e distintas! <\/p>\n

Clique no pr\u00f3ximo bot\u00e3o e veja um gif animado da solu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

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\n <\/p>\n
\n\"disseccao\"<\/p>\n

\n

Os n\u00fameros indicam os comprimentos dos lados dos quadrados; observe que o quadrado externo tem lado [tex]112[\/tex].<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Se voc\u00ea se interessou pelo assunto, clique no pr\u00f3ximo bot\u00e3o!<\/p>\n

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\n <\/p>\n
\n

Observe com calma a dissec\u00e7\u00e3o perfeita de um quadrado em 21 quadrados menores.
\n \"f64\"
\nEssa dissec\u00e7\u00e3o foi descoberta em 1978 por Adrianus Johannes Wilhelmus Duijvestijn <\/strong><\/em>(1927-1998).
\nMais do que produzir a dissec\u00e7\u00e3o, Duijvestijn <\/strong><\/em>demonstrou que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel dividir um quadrado em menos de 21 quadrados menores com tamanhos distintos.
\nUma forma interessante de representar uma dissec\u00e7\u00e3o de quadrado \u00e9 agrupar os quadrados internos que t\u00eam os lados superiores contidos em uma mesma reta, identificando-os pelas respectivas medidas de seus lados. Por exemplo, a dissec\u00e7\u00e3o acima seria assim denotada:
\n[tex] \\qquad [50,35,27], [8,19], [15,17,11], [6,24], [29,25,9,2], [7,18],\\\\
\n\\qquad [16], [42], [4,37], [33][\/tex]<\/p>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Para mais informa\u00e7\u00f5es sobre dissec\u00e7\u00f5es, clique AQUI<\/strong><\/span><\/a> .<\/span><\/p>\n

<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube 1uik<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (a) Prove que um quadrado pode ser dividido em 2016 quadrados. (b) Um quadrado pode ser dividido em 2017 quadrados? Por exemplo, a figura abaixo mostra um quadrado dividido em 7 quadrados. Solu\u00e7\u00e3o 1 Observe, inicialmente, que uma configura\u00e7\u00e3o qualquer na qual um quadrado est\u00e1 … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-74069","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/74069","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=74069"}],"version-history":[{"count":140,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/74069\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":74343,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/74069\/revisions\/74343"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=74069"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}