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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Observe que o fato de termos assumido que [tex] \\, a \\, [\/tex] e [tex] \\, b \\, [\/tex] s\u00e3o inteiros n\u00e3o negativos n\u00e3o tira a generalidade da solu\u00e7\u00e3o, pois estamos procurando quadrados perfeitos que, em ess\u00eancia, s\u00e3o n\u00fameros inteiros n\u00e3o negativos, e [tex](-x)^2=x^2[\/tex] para todo [tex]x[\/tex] inteiro. Assim, mesmo que [tex] \\, a \\, [\/tex] e [tex] \\, b \\, [\/tex] fossem negativos, os valores obtidos para [tex]a^2[\/tex] e [tex]b^2[\/tex] seriam iguais aos encontrados.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n \n \n Com isso, podemos ver que [tex](a + b)[\/tex] e [tex](a – b)[\/tex] possuem a mesma paridade. Se os dois t\u00eam a mesma paridade, temos que ou os dois s\u00e3o pares ou os dois s\u00e3o \u00edmpares. Note que:<\/p>\n \n \n Como [tex]92[\/tex] \u00e9 par, [tex](a + b)[\/tex] e [tex](a – b)[\/tex] s\u00f3 podem ser pares. Os divisores pares positivos que [tex]92[\/tex] possui s\u00e3o [tex]2, \\, 4, \\, 46[\/tex] e [tex]92[\/tex], mas observe que:<\/p>\n logo, um deles \u00e9 igual a [tex]2[\/tex] e o outro igual a [tex]46[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM 1uik<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) A diferen\u00e7a de dois quadrados perfeitos \u00e9 [tex]92[\/tex]. Determine-os. Solu\u00e7\u00e3o 1 Sejam [tex] \\, a \\, [\/tex] e [tex] \\, b \\, [\/tex] inteiros n\u00e3o negativos tais que [tex]a^2 – b^2 = 92[\/tex]. Sabemos que [tex]a^2 – b^2 = (a+b) \\cdot (a-b)[\/tex], assim [tex](a+b) \\cdot … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nA diferen\u00e7a de dois quadrados perfeitos \u00e9 [tex]92[\/tex].
\nDetermine-os.
\n<\/strong><\/p>\n
\nSejam [tex] \\, a \\, [\/tex] e [tex] \\, b \\, [\/tex] inteiros n\u00e3o negativos tais que [tex]a^2 – b^2 = 92[\/tex].
\nSabemos que [tex]a^2 – b^2 = (a+b) \\cdot (a-b)[\/tex], assim [tex](a+b) \\cdot (a-b)=92[\/tex].
\nOs fatores [tex]a+b[\/tex] e [tex]a-b[\/tex] t\u00eam a mesma paridade, ou seja, s\u00e3o ambos pares ou ambos \u00edmpares (verifique!); mas, sendo o produto [tex]92[\/tex], conclu\u00edmos que os fatores s\u00e3o ambos pares.
\nPor outro lado, ao fatorarmos [tex]92[\/tex], obtemos [tex]92 = 2 \\cdot 2 \\cdot 23[\/tex]. Como s\u00f3 h\u00e1 dois fatores primos pares ([tex]2[\/tex] e [tex]2[\/tex]), conclu\u00edmos que [tex]a + b = 46[\/tex] e [tex]a-b = 2[\/tex].
\nSomando essas duas equa\u00e7\u00f5es, obtemos [tex]2a = 48[\/tex]; assim [tex]a=24[\/tex] e [tex]b=22[\/tex] e, portanto, os quadrados perfeitos s\u00e3o [tex]\\boxed{a^2 = 576}[\/tex] e [tex]\\boxed{b^2 = 484}[\/tex].<\/p>\n
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\n
\nSejam [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex]92 = a^2 – b^2[\/tex].
\nDe acordo com os produtos not\u00e1veis, [tex] a^2 – b^2=(a+b)(a-b)[\/tex], ent\u00e3o [tex]92 = (a + b)(a – b)[\/tex].
\nAgora perceba que:<\/p>\n
\npar + \u00edmpar = \u00edmpar<\/em><\/strong>, assim como par – \u00edmpar = \u00edmpar<\/em><\/strong>;
\npar + par = par<\/em><\/strong>, assim como par – par = par<\/em><\/strong>;
\n\u00edmpar + \u00edmpar = par<\/em><\/strong>, assim como \u00edmpar – \u00edmpar = par<\/em><\/strong>.\n <\/div>\n
\n\u00edmpar × \u00edmpar = \u00edmpar<\/em><\/strong>.\n <\/div>\n\n
\nComo [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, obviamente [tex](a + b) \\gt (a – b)[\/tex] e, como [tex]46 \\gt 2[\/tex], podemos concluir que [tex](a + b) = 46[\/tex] e [tex](a – b) = 2[\/tex].
\nPor fim, para saber o valor de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], basta resolver o seguinte sistema:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{cases}a + b = 46\\\\
\na – b = 2\\end{cases}[\/tex]
\nSomando as duas equa\u00e7\u00f5es, segue que:
\n[tex]\\qquad a + b + a + (- b) = 46 + 2[\/tex]
\n[tex] \\qquad 2a \\cancel{+ b} \\cancel{- b} = 48[\/tex]
\n[tex] \\qquad a = \\dfrac{48}{2}[\/tex]
\n[tex] \\qquad a = 24[\/tex]
\nSe [tex]a = 24[\/tex], logo:
\n[tex] \\qquad a + b = 46[\/tex]
\n[tex] \\qquad b = 46 – 24[\/tex]
\n[tex] \\qquad b = 22[\/tex].
\nAssim, os quadrados citados s\u00e3o [tex]a^2=24^2=576,b^2=22^2=484[\/tex]. Para comprovar, basta realizar a conta:
\n[tex]\\qquad 24^2 – 22^2 = 576 – 484 = 92[\/tex].<\/p>\n
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