\n
Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nUm avi\u00e3o regressa dos jogos ol\u00edmpicos transportando os cinco primeiros classificados numa determinada competi\u00e7\u00e3o em que n\u00e3o houve dois na mesma coloca\u00e7\u00e3o. Eles afirmam:<\/p>\n\n- Atleta A<\/strong> – Eu n\u00e3o fui o quinto colocado.<\/li>\n
- Atleta B<\/strong> – C foi o terceiro colocado.<\/li>\n
- Atleta C<\/strong> – A ficou pior colocado do que E.<\/li>\n
- Atleta D<\/strong> – E foi o segundo colocado.<\/li>\n
- Atleta E<\/strong> – D n\u00e3o foi o quinto colocado.<\/li>\n<\/ul>\n
Sabendo que apenas o primeiro e o segundo colocados mentiram, quais os resultados poss\u00edveis dessa competi\u00e7\u00e3o?<\/p>\n
\n<\/div>\n
\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n
\n
(1) Suponha que E n\u00e3o tenha sido o segundo colocado<\/strong>.
\nEnt\u00e3o, D mentiu e, portanto, ele foi um dos dois primeiros. Assim, E falou a verdade, n\u00e3o podendo ter sido um dos dois primeiros colocados.
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{cc}
\n&? \\, \\, \\, \\, \\, \\, ?& ?\\quad ?\\quad?\\\\
\n&{\\underbrace{\\overline{1^{\\circ}} \\, \\, \\overline{2^{\\circ}}}_{D}}& {\\underbrace{\\overline{3^{\\circ}} \\, \\, \\overline{4^{\\circ}} \\, \\, \\overline{5^{\\circ}}}_{E}}
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n(1.1)<\/strong> Suponha que B tenha falado a verdade.
\nNeste caso, C foi o terceiro e, portanto, C falou a verdade, logo E foi o quarto e A o quinto.
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{cccc}
\n& \\, &C&E&A\\\\
\n&{\\underbrace{\\overline{1^{\\circ}}\\quad\\overline{2^{\\circ}}}_{D}}& \\overline{3^{\\circ}}&\\overline{4^{\\circ}} &\\overline{5^{\\circ}}
\n\\end{array}[\/tex]
\nAbsurdo; pois, sendo o quinto colocado, a afirma\u00e7\u00e3o de A seria falsa e A n\u00e3o mentiu, pois apenas os dois primeiros colocados mentem. Assim B n\u00e3o falou a verdade. <\/p>\n(1.2) <\/strong>Como B mentiu, ele tamb\u00e9m foi um dos dois primeiros, cabendo a A, E e C as \u00faltimas coloca\u00e7\u00f5es entre os cinco e sendo suas afirma\u00e7\u00f5es verdadeiras.
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{cc}
\n&? \\, \\, \\, \\, \\, \\, ?& ?\\quad ?\\quad?\\\\
\n&{\\underbrace{\\overline{1^{\\circ}} \\, \\, \\overline{2^{\\circ}}}_{B, \\, D}}& {\\underbrace{\\overline{3^{\\circ}} \\, \\, \\overline{4^{\\circ}} \\, \\, \\overline{5^{\\circ}}}_{A, \\, C,E}}
\n\\end{array}[\/tex]
\nComo C falou a verdade, temos E em terceiro e A em quarto, restando o quinto lugar para C.
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{cccc}
\n&? \\, \\, \\, \\, \\, \\, ?& E & A & C\\\\
\n&{\\underbrace{\\overline{1^{\\circ}} \\, \\, \\overline{2^{\\circ}}}_{B, \\, D}}& \\overline{3^{\\circ}}&\\overline{4^{\\circ}}&\\overline{5^{\\circ}}
\n\\end{array}[\/tex]
\nDessa forma, s\u00e3o classifica\u00e7\u00f5es poss\u00edveis:
\n[tex]\\quad \\boxed{\\begin{array}{ccccc}
\n&D & B & E & A & C\\\\
\n&\\overline{1^{\\circ}}&\\overline{2^{\\circ}}& \\overline{3^{\\circ}}&\\overline{4^{\\circ}}&\\overline{5^{\\circ}}
\n\\end{array}\\quad} \\quad[\/tex] e [tex]\\quad \\boxed{\\begin{array}{ccccc}
\n&B & D & E & A & C\\\\
\n&\\overline{1^{\\circ}}&\\overline{2^{\\circ}}& \\overline{3^{\\circ}}&\\overline{4^{\\circ}}&\\overline{5^{\\circ}}
\n\\end{array}\\quad}[\/tex]<\/p>\n(2) Suponha, agora, que E tenha sido realmente o segundo colocado.<\/strong>
\nEnt\u00e3o, E mentiu na afirma\u00e7\u00e3o e, portanto, D foi o quinto colocado.
\n[tex]\\quad \\qquad \\begin{array}{ccccc}
\n&? & E & ?& ? & D\\\\
\n&\\overline{1^{\\circ}}&\\overline{2^{\\circ}}& \\overline{3^{\\circ}}&\\overline{4^{\\circ}}&\\overline{5^{\\circ}}
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n(2.1)<\/strong> Caso B tenha falado a verdade, C ter\u00e1 sido o terceiro e B o quarto.
\n[tex]\\quad \\qquad \\begin{array}{ccccc}
\n&? & E & C & B & D\\\\
\n&\\overline{1^{\\circ}}&\\overline{2^{\\circ}}& \\overline{3^{\\circ}}&\\overline{4^{\\circ}}&\\overline{5^{\\circ}}
\n\\end{array}[\/tex]
\nMas restaria apenas o primeiro lugar para A, fazendo com que a afirma\u00e7\u00e3o de C seja falsa, o que \u00e9 um absurdo, pois apenas os dois primeiros colocados mentiram. Assim, B n\u00e3o pode ter falado a verdade.<\/p>\n(2.2)<\/strong> Como B mentiu, ent\u00e3o B ter\u00e1 sido o primeiro e C o quarto, restando assim o terceiro lugar para A.
\nDessa forma, outro resultado poss\u00edvel ser\u00e1
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{\\begin{array}{ccccc}
\n&B & E & A & C & D\\\\
\n&\\overline{1^{\\circ}}&\\overline{2^{\\circ}}& \\overline{3^{\\circ}}&\\overline{4^{\\circ}}&\\overline{5^{\\circ}}
\n\\end{array}\\quad}. [\/tex]<\/p>\n➤<\/span> Pelo exposto, h\u00e1 tr\u00eas poss\u00edveis resultados da competi\u00e7\u00e3o em quest\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n![\"f052\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/f052.png\") <\/td>\n | \n![\"f051\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/f051.png\") <\/td>\n | \n![\"F050\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/F050.png\") <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n
\nEm qualquer caso deve haver sempre [tex]2[\/tex] mentirosos. Assim, podemos listar todas as duplas de poss\u00edveis mentirosos: \n[tex]\\qquad – \\, A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, A[\/tex] e [tex]C[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, A[\/tex] e [tex]D[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, A[\/tex] e [tex]E[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, B[\/tex] e [tex]C[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, B[\/tex] e [tex]D[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, B[\/tex] e [tex]E[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, C[\/tex] e [tex]D[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, C[\/tex] e [tex]E[\/tex] \n[tex]\\qquad – \\, D[\/tex] e [tex]E[\/tex] \ndando [tex]10[\/tex] no total. Mas, antes de analisar todas elas, vamos observar algumas coisas:<\/p>\n \n- O competidor [tex]A[\/tex] diz: Eu n\u00e3o fui o quinto colocado.
\nSupondo que ele minta, logo ele ser\u00e1 o quinto colocado, o que seria um absurdo pois quem mente deve ficar ou em [tex]1^\\circ[\/tex] ou em [tex]2^\\circ[\/tex] lugar. Logo, \u00e9 imposs\u00edvel [tex]A[\/tex] mentir. Isso ainda nos mostra que [tex]A[\/tex] s\u00f3 pode ficar em [tex]3^\\circ[\/tex] ou em [tex]4^\\circ[\/tex] lugar, pois ele afirma n\u00e3o estar em [tex]5^\\circ[\/tex] lugar, al\u00e9m disso fala a verdade, ou seja, n\u00e3o est\u00e1 em [tex]1^\\circ[\/tex] ou [tex]2^\\circ[\/tex] lugar.
\nAssim, j\u00e1 podemos eliminar [tex]4[\/tex] casos: [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], [tex]A[\/tex] e [tex]C[\/tex], [tex]A[\/tex] e [tex]D[\/tex] e [tex]A[\/tex] e [tex]E[\/tex].<\/strong><\/li>\n- Agora vamos focar no competidor [tex]C[\/tex]: para [tex]C[\/tex] mentir, [tex]D[\/tex] deve obrigatoriamente mentir tamb\u00e9m. Isso porque [tex]C[\/tex] diz que [tex]A[\/tex] ficou mais mal colocado que [tex]E[\/tex], mas, se ele mentir, isso quer dizer que [tex]A[\/tex] ficou numa posi\u00e7\u00e3o acima de [tex]E[\/tex]. Como [tex]A[\/tex] s\u00f3 pode ficar em [tex]3^\\circ[\/tex] ou em [tex]4^\\circ[\/tex], logo [tex]E[\/tex] teria que ficar obrigatoriamente em [tex]4^\\circ[\/tex] ou em [tex]5^\\circ[\/tex]. Mas [tex]D[\/tex] diz que [tex]E[\/tex] ficaria na [tex]2^\\circ[\/tex] coloca\u00e7\u00e3o; logo, para [tex]C[\/tex] mentir, [tex]D[\/tex] tamb\u00e9m deve mentir.
\nMas perceba que, se os dois mentirem, [tex]B[\/tex] estar\u00e1 falando a verdade e [tex]B[\/tex] diz: [tex]C[\/tex] foi o terceiro colocado. Acontece que se [tex]C[\/tex] mente, ele deve ser o [tex]1^\\circ[\/tex] ou o [tex]2^\\circ[\/tex] colocado, assim podemos ver que \u00e9 imposs\u00edvel [tex]C[\/tex] mentir.
\nDesse modo, podemos eliminar mais tr\u00eas casos: [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] e [tex]C[\/tex] e [tex]E[\/tex].<\/strong><\/li>\n<\/ul>\nCom isso, restaram apenas [tex]3[\/tex] casos. Vamos analisar um por um:<\/p>\n \n (i) [tex]B[\/tex] e [tex]D[\/tex]<\/strong>
\nSe [tex]A[\/tex] ficou mais mal colocado que [tex]E[\/tex] como diz [tex]C[\/tex], logo, [tex]E[\/tex] deve ficar na [tex]3^\\circ[\/tex] coloca\u00e7\u00e3o e [tex]A[\/tex] na [tex]4^\\circ[\/tex], j\u00e1 que [tex]A[\/tex] s\u00f3 pode ficar na [tex]3^\\circ[\/tex] ou na [tex]4^\\circ[\/tex] coloca\u00e7\u00e3o e [tex]E[\/tex] diz a verdade, ou seja, n\u00e3o ficou em [tex]1^\\circ[\/tex] ou [tex]2^\\circ[\/tex] lugar. Assim, resta para [tex]C[\/tex] a [tex]5^\\circ[\/tex] coloca\u00e7\u00e3o, ficando indefinido em qual coloca\u00e7\u00e3o [tex]B[\/tex] e [tex]D[\/tex] ficariam.
\n[tex]\\qquad 1. \\, B[\/tex] ou [tex]D[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2. \\, D[\/tex] ou [tex]B[\/tex]
\n[tex]\\qquad 3. \\, E[\/tex]
\n[tex]\\qquad 4. \\, A[\/tex]
\n[tex]\\qquad 5. \\, C[\/tex]<\/ul>\n\nDesse modo podemos concluir que, se [tex]B[\/tex] e [tex]D[\/tex] mentirem, h\u00e1 duas possibilidades.
\n<\/strong><\/p>\n(ii) [tex]B[\/tex] e [tex]E[\/tex] <\/strong>
\nSe [tex]E[\/tex] que diz que [tex]D[\/tex] n\u00e3o foi o quinto colocado est\u00e1 mentindo, logo [tex]D[\/tex] foi o quinto colocado. Al\u00e9m disso, [tex]D[\/tex], que diz a verdade, fala que [tex]E[\/tex] ficou na segunda coloca\u00e7\u00e3o, assim [tex]B[\/tex] obrigatoriamente deve ficar na primeira. [tex]B[\/tex], que est\u00e1 mentindo, diz que [tex]C[\/tex] ficou em terceiro, sendo assim podemos concluir que ele ficou em quarto, restando para [tex]A[\/tex] a terceira coloca\u00e7\u00e3o.
\n[tex]\\qquad 1. \\, B[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2. \\, E[\/tex]
\n[tex]\\qquad 3. \\, A[\/tex]
\n[tex]\\qquad 4. \\, C[\/tex]
\n[tex]\\qquad 5. \\, D[\/tex]<\/ul>\n\nAssim, se [tex]B[\/tex] e [tex]E[\/tex] mentirem, teremos uma possibilidade.<\/strong><\/p>\n(iii) [tex]D[\/tex] e [tex]E[\/tex]<\/strong>
\nAqui, devemos observar que o competidor [tex]E[\/tex] diz: [tex]D[\/tex] n\u00e3o foi o quinto colocado. Mas [tex]E[\/tex] est\u00e1 mentindo, logo [tex]D[\/tex] foi o quinto colocado, o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel pois [tex]D[\/tex] \u00e9 mentiroso, devendo ficar na primeira ou na segunda posi\u00e7\u00e3o.<\/ul>\n\n Assim, \u00e9 imposs\u00edvel [tex]D[\/tex] e [tex]E[\/tex] mentirem ao mesmo tempo.<\/strong><\/p>\nCom isso, podemos ver que h\u00e1 no total [tex]3[\/tex] possibilidades de resultado: <\/p>\n \n \n\n [tex]1. \\, B[\/tex]
\n[tex]2. \\, D[\/tex]
\n[tex]3. \\, E[\/tex]
\n[tex]4. \\, A[\/tex]
\n[tex]5. \\, C[\/tex]<\/strong>\n<\/td>\n [tex]1. \\, D[\/tex]
\n[tex]2. \\, B[\/tex]
\n[tex]3. \\, E[\/tex]
\n[tex]4. \\, A[\/tex]
\n[tex]5. \\, C[\/tex]<\/strong>\n<\/td>\n[tex]1. \\, B[\/tex]
\n[tex]2. \\, E[\/tex]
\n[tex]3. \\, A[\/tex]
\n[tex]4. \\, C[\/tex]
\n[tex]5. \\, D[\/tex]
\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM 1uik<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n \nParticipou da discuss\u00e3o o Clube 1uik<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Um avi\u00e3o regressa dos jogos ol\u00edmpicos transportando os cinco primeiros classificados numa determinada competi\u00e7\u00e3o em que n\u00e3o houve dois na mesma coloca\u00e7\u00e3o. Eles afirmam: Atleta A – Eu n\u00e3o fui o quinto colocado. Atleta B – C foi o terceiro colocado. Atleta C – A … <\/p>\n Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-73832","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/73832","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=73832"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/73832\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186414,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/73832\/revisions\/186414"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=73832"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}} | | | |