{"id":73810,"date":"2017-03-12T22:09:37","date_gmt":"2017-03-13T01:09:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=73810"},"modified":"2023-05-21T02:27:59","modified_gmt":"2023-05-21T05:27:59","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-quase-um-quadrado-perfeito","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-quase-um-quadrado-perfeito\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Quase um quadrado perfeito\u2026"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F.) (N\u00edvel: M\u00e9dio)<\/span><\/span><\/p>\n

\nQual \u00e9 o menor n\u00famero inteiro n\u00e3o nulo que devemos multiplicar por [tex]98[\/tex] para obtermos um quadrado perfeito? E por [tex]88[\/tex]?<\/p>\n

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Para ajudar . . . <\/p>\n

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Defini\u00e7\u00e3o:<\/em><\/strong><\/span> Quadrado perfeito<\/strong> \u00e9 qualquer n\u00famero natural que possa ser representado pelo quadrado de um n\u00famero tamb\u00e9m natural.
\nAssim, um n\u00famero natural n<\/em> \u00e9 dito um quadrado perfeito<\/strong> se, e somente se, existir um n\u00famero natural [tex]a[\/tex] tal que [tex]n=a^2[\/tex].
\nEm s\u00edmbolos:
\n[tex]\\qquad \\fbox{$\\displaystyle \\text{Seja } n \\in \\mathbb{N}.\\\\ n\\, \\acute{e}\\, \\text{quadrado perfeito} \\iff \\exists\\, a \\in \\mathbb{N} \\mid n=a^2 \\, $}[\/tex]<\/p>\n

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Para aprender um pouco mais, depois que voc\u00ea resolver o problema, visite esta Sala de Estudo<\/strong><\/a>. <\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nUm n\u00famero natural [tex] n[\/tex] \u00e9 um quadrado perfeito se, e somente se, existir um n\u00famero natural [tex]a[\/tex] tal que [tex]n=a^2[\/tex].
\nCom isso, se [tex]p_1, \\, p_2, \\, \\cdots \\, ,p_m \\, [\/tex] forem os fatores primos (distintos) de [tex]n[\/tex], ent\u00e3o [tex] n[\/tex] \u00e9 um quadrado perfeito se, e somente se,
\n[tex]\\qquad \\boxed{n=p_1^{2q_1} \\, p_2^{2q_2} \\, \\ldots \\, p_m^{2q_m}}[\/tex], com [tex]q_1, \\, q_2, \\, \\ldots \\, ,q_m[\/tex] n\u00fameros naturais.
\nPodemos observar que quadrados perfeitos s\u00e3o n\u00fameros n\u00e3o negativos; assim, embora o enunciado admita que os n\u00fameros pelos quais multiplicaremos o [tex]98 \\, [\/tex] e o [tex] \\, 88[\/tex] sejam inteiros n\u00e3o nulos, tais n\u00fameros n\u00e3o poder\u00e3o ser negativos, visto que os respectivos produtos resultantes, nesse caso, seriam tamb\u00e9m negativos e, portanto, n\u00e3o satisfariam a condi\u00e7\u00e3o de serem quadrados perfeitos. Assim, faremos toda a discuss\u00e3o da solu\u00e7\u00e3o no conjunto dos n\u00fameros naturais.
\nFeita a observa\u00e7\u00e3o, vamos, inicialmente, escrever os n\u00fameros [tex]98 \\, [\/tex] e [tex] \\, 88[\/tex] como produtos de fatores primos:<\/p>\n