{"id":73637,"date":"2017-03-11T00:09:07","date_gmt":"2017-03-11T03:09:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=73637"},"modified":"2024-11-26T22:51:30","modified_gmt":"2024-11-27T01:51:30","slug":"sala-de-estudos-a-soma-1-2-3-t","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudos-a-soma-1-2-3-t\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: A soma 1 + 2 + 3 + … + t"},"content":{"rendered":"

✏ Link da Sala para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

A soma [tex]1+2+3+ \\cdots+t[\/tex]<\/p>\n

\n

\n

\nSe [tex]t[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex], qual o valor da soma [tex]1+2+3+ \\cdots+t[\/tex]?<\/div>\n

\n

<\/span> Para aqueles que sabem o que \u00e9 uma Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica <\/strong>– PA , basta observar que a f\u00f3rmula da soma dos [tex]n[\/tex] primeiros termos da PA [tex](a_1, \\, a_2, \\, a_3, \\, \\ldots \\, , \\, a_n, \\, \\ldots)[\/tex] \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad \\qquad S_n=a_1+a_2+\\ldots+a_n=\\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}[\/tex].
\n<\/span>Como [tex](1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, \\ldots \\, , \\, t, \\, t+1, \\, \\ldots)[\/tex] \u00e9 uma PA, de raz\u00e3o [tex]1[\/tex], segue que a soma dos [tex]t[\/tex] primeiros termos \u00e9 dada por:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{1+2+3+ \\cdots+t=\\dfrac{(1+t)\\cdot t}{2}}[\/tex].<\/p>\n

\n

<\/span> Assim, particularmente: <\/p>\n

\n

✓<\/strong><\/span> [tex]1+2+3+ \\cdots+10=\\dfrac{(1+10)\\cdot 10}{2}=\\dfrac{11\\cdot 10}{2}=11\\cdot 5=55[\/tex];<\/span><\/p>\n

\n

✓<\/strong><\/span> [tex]1+2+3+ \\cdots+100=\\dfrac{(1+100)\\cdot 100}{2}=\\dfrac{101\\cdot 100}{2}=101\\cdot 50=5050[\/tex];<\/span><\/p>\n

\n

✓<\/strong><\/span> [tex]1+2+3+ \\cdots+1000=\\dfrac{(1+1000)\\cdot 1000}{2}=\\dfrac{1001\\cdot 1000}{2}=1001\\cdot 500=500500[\/tex];<\/span><\/p>\n

\n

✓<\/strong><\/span> [tex]1+2+3+ \\cdots+5000=\\dfrac{(1+5000)\\cdot 5000}{2}=\\dfrac{5001\\cdot 5000}{2}=5001\\cdot 2500=12502500[\/tex].<\/span><\/p>\n

\n

Que f\u00f3rmula fant\u00e1stica, n\u00e3o \u00e9? <\/p>\n

\n

<\/span>Com ela obtemos com a mesma facilidade uma soma com dez, com mil ou com cinco mil parcelas!
\n<\/span>Mas, embora \u00fatil, algu\u00e9m que n\u00e3o saiba o que \u00e9 uma PA poder\u00e1 ficar na d\u00favida se essa f\u00f3rmula funciona sempre. Assim, vamos mostrar como obt\u00ea-la por dois caminhos diferentes e sem utilizar progress\u00f5es aritm\u00e9ticas. Em cada caminho, vamos simplesmente fazer continhas agrupando de forma conveniente as parcelas da soma [tex]1+2+3+ \\cdots+t[\/tex].
\n<\/span>Vejamos.<\/p>\n

\n

\n

M\u00e9todo I <\/p>\n

Se [tex]t[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex], observe inicialmente que
\n[tex]\\qquad \\qquad 1+2+\\cdots+(t-1)+t=t+(t-1)+\\cdots+2+1[\/tex],
\nportanto:
\n\"\"<\/p>\n

Assim, [tex]2S_t=t\\cdot (t+1)[\/tex] e podemos concluir que:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{S_t=\\dfrac{t\\cdot (t+1)}{2}}[\/tex].<\/p>\n

\n

Para voc\u00ea entender direitinho o que aconteceu com as parcelas centrais de [tex] S_t[\/tex], quando somamos as duas igualdades, vamos refazer a soma considerando dois casos: [tex]t[\/tex] par e [tex]t[\/tex] \u00edmpar.<\/p>\n

\n

✓<\/strong><\/span> Para [tex]t[\/tex] par, observe que:
\n\"\"<\/p>\n

\n

Com isso, [tex]2S_t=t\\cdot(t+1)[\/tex] e podemos assim concluir que [tex]S_t=\\dfrac{t\\cdot(t+1)}{2}[\/tex].<\/p>\n

\n

✓<\/strong><\/span> Para [tex]t[\/tex] \u00edmpar, observe que:
\n\"\"<\/p>\n

\n

Aqui tamb\u00e9m, [tex]2S_t=t\\cdot(t+1)[\/tex] e [tex] S_t=\\dfrac{t\\cdot(t+1)}{2}[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

\n

\n

M\u00e9todo II <\/p>\n

Seja [tex]t[\/tex] um n\u00famero natural maior do que [tex]1.[\/tex]
\n✓<\/strong><\/span> Suponha que [tex]t[\/tex] seja par; assim podemos agrupar os [tex]t[\/tex] n\u00fameros [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, \\ldots \\, , \\, t[\/tex] de dois em dois, conforme mostra a figura abaixo, e som\u00e1-los.<\/p>\n

\"f033\"<\/p>\n

[tex] \\quad\\begin{align*} &1+2+3 \\cdots+t= {\\color{red}{1}}+{\\color{#1E90FF}{2}}+{\\color{#FF8C00}{3}}+{\\color{#32CD32}{4}}+ \\cdots+{\\color{#32CD32}{(t-3)}}+{\\color{#FF8C00}{(t-2)}}+{\\color{#1E90FF}{(t-1)}}+{\\color{red}{t}}=\\\\
\n &=\\underbrace{{\\color{red}{[1+t]}}+{\\color{#1E90FF}{[2+(t-1)]}}+{\\color{#FF8C00}{[3+(t-2)]}}+{\\color{#32CD32}{[4+(t-3)]}}+ \\cdots+\\left[\\dfrac{t}{2}+\\left(\\dfrac{t}{2}+1\\right)\\right]}_{\\frac{t}{2} \\, parcelas}\\\\
\n&=\\underbrace{[1+t]+[1+t]+[1+t]+[1+t]+ \\cdots+[1+t]}_{\\frac{t}{2} \\, parcelas}\\\\
\n&=\\dfrac{t}{2}\\cdot (1+t)\\\\
\n&=\\dfrac{(1+t)\\cdot t}{2}. \\end{align*}[\/tex]<\/p>\n

\n

✓<\/strong><\/span> Se [tex]t[\/tex] for \u00edmpar, podemos agrupar os [tex]t[\/tex] n\u00fameros [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, \\ldots \\, , \\, t[\/tex] conforme mostra a figura abaixo, e som\u00e1-los.<\/p>\n

<\/p>\n

[tex] \\quad\\begin{align*} &1+2+3 \\cdots+t= {\\color{red}{1}}+{\\color{#1E90FF}{2}}+{\\color{#FF8C00}{3}}+ \\cdots+{\\color{#FF8C00}{(t-2)}}+{\\color{#1E90FF}{(t-1)}}+{\\color{red}{t}}=\\\\
\n &=\\underbrace{{\\color{red}{[1+t]}}+{\\color{#1E90FF}{[2+(t-1)]}}+{\\color{#FF8C00}{[3+(t-2)]}}+ \\cdots+{\\color{#32CD32}{\\left[\\dfrac{t-1}{2}+\\dfrac{t+3}{2}\\right]}}}_{\\frac{t-1}{2} \\, parcelas}+\\dfrac{t+1}{2}\\\\
\n&=\\underbrace{[1+t]+[1+t]+[1+t]+[1+t]+ \\cdots+[1+t]}_{\\frac{t-1}{2} \\, parcelas}+\\dfrac{t+1}{2}\\\\
\n&=\\dfrac{t-1}{2}\\cdot (1+t)+\\dfrac{1+t}{2}\\\\
\n&=\\dfrac{(1+t)\\cdot t}{2}. \\end{align*}[\/tex]<\/p>\n

\n

✓<\/strong><\/span> Se [tex]t[\/tex] for \u00edmpar, podemos tamb\u00e9m agrupar de dois em dois, bastando para isso observar que
\n[tex]\\qquad \\qquad 1+2+3+4+\\cdots +t=0+1+2+3+4+\\cdots +t.[\/tex]
\nPerceba que, dessa forma, conseguimos obter a mesma soma com quantidades diferentes de parcelas: do lado esquerdo da igualdade temos [tex]t[\/tex] parcelas, ou seja, uma quantidade \u00edmpar de parcelas; mas, do lado direito, temos [tex]t+1[\/tex] parcelas, logo, uma quantidade par de parcelas.
\nBasta ent\u00e3o agruparmos as parcelas da soma [tex]0+1+2+3+4+\\cdots+t.[\/tex]<\/p>\n

<\/p>\n

[tex] \\quad\\begin{align*}&1+2+3 \\cdots+t= 0+1+2+3 \\cdots+t=\\\\
\n&={\\color{red}{0}}+{\\color{#1E90FF}{1}}+{\\color{#FF8C00}{2}}+{\\color{#32CD32}{3}}+ \\cdots+{\\color{#32CD32}{(t-3)}}+{\\color{#FF8C00}{(t-2)}}+{\\color{#1E90FF}{(t-1)}}+{\\color{red}{t}}\\\\
\n &=\\underbrace{{\\color{red}{[0+t]}}+{\\color{#1E90FF}{[1+(t-1)]}}+{\\color{#FF8C00}{[2+(t-2)]}}+{\\color{#32CD32}{[3+(t-3)]}}+ \\cdots+\\left[\\dfrac{t-1}{2}+\\dfrac{t+1}{2}\\right]}_{\\frac{t+1}{2} \\, parcelas}\\\\
\n&=\\underbrace{[t]+[t]+[t]+[t]+ \\cdots+[t]}_{\\frac{t+1}{2} \\, parcelas}\\\\
\n&=\\dfrac{t+1}{2}\\cdot t\\\\
\n&=\\dfrac{(1+t)\\cdot t}{2}. \\end{align*}[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

\n

<\/span>Ufa, quantas contas, hem?
\n<\/span> E depois de tantos c\u00e1lculos, que tal uma historinha para descontrair ? ! ? !<\/p>\n

\n

\n<\/span> De acordo com um epis\u00f3dio bem pitoresco da Hist\u00f3ria da Matem\u00e1tica, na Alemanha, um garoto de menos de dez anos chamado Gauss surpreendeu seu professor de Matem\u00e1tica ao apresentar rapidamente a resposta ao problema de somar todos os n\u00fameros naturais de 1 a 100.
\n\"gaussinho\"<\/p>\n

Extra\u00eddo da Revista Galileu<\/a><\/p>\n

\n

<\/span>O c\u00e1lculo feito pelo menino Gauss foi:<\/p>\n

[tex] \\boxed{1+2+3+\\cdots +99+100=\\dfrac{100}{2} \\times 101 = 50\\times 101=5050.}[\/tex]<\/p>\n

<\/span>Podemos observar que a perip\u00e9cia do pequeno Gauss \u00e9 o caso particular de [tex]t=100[\/tex] da nossa primeira lousinha, conforme ilustra o esqueminha abaixo.
\n\"soma_gauss\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

<\/span>Para a hist\u00f3ria n\u00e3o ficar sem fim, o menino autor da fa\u00e7anha se tornou um dos mais importantes matem\u00e1ticos de todos os tempos: Johann Carl Friedrich Gauss<\/em><\/strong><\/a>, conhecido como o Pr\u00edncipe da Matem\u00e1tica<\/em>!<\/p>\n

\n

Bem, dizem que uma boa conversa sobre Matem\u00e1tica n\u00e3o pode terminar sem bons problemas. Assim, clique no pr\u00f3ximo bot\u00e3o e divirta-se!<\/strong><\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n

\n

Aten\u00e7\u00e3o!<\/p>\n

Alguns dos problemas abaixo podem ser resolvidos sem utilizarmos uma soma do tipo [tex]1+2+3+ \\cdots + t [\/tex].
\nMas a ideia aqui \u00e9 primeiro identificar em cada problema uma soma [tex]1+2+3+ \\cdots + t [\/tex], para algum [tex]t[\/tex] natural, e utilizar a igualdade [tex]1+2+3+ \\cdots + t =\\dfrac{(1+t)\\cdot t}{2} \\, [\/tex] para resolv\u00ea-lo.<\/p>\n

Vamos l\u00e1?<\/p>\n

\n

\nProblema 1:<\/strong>
\nDetermine a soma [tex]3+6+9+12+15+\\cdots +3000 \\, [\/tex] dos m\u00faltiplos positivos de [tex]3[\/tex] menores do que [tex]3001[\/tex].<\/p>\n
\n

\n

Problema 2:<\/strong>
\nDetermine a seguinte soma, cujas parcelas s\u00e3o n\u00fameros consecutivos: [tex]37+38+39+\\cdots + 1405[\/tex]. <\/p>\n

\n

\n

\n

\n

Problema 3:<\/strong>
\nO n\u00famero [tex]S=1+2+3+ \\cdots+ 2012+2013+2014 \\, [\/tex] \u00e9 par ou \u00edmpar? <\/p>\n

\n <\/p>\n
\n

\n

\n\u00cdmpar<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n

\n

Problema 4:<\/strong><\/p>\n

Qual a soma dos [tex]200[\/tex] primeiros n\u00fameros pares positivos? <\/p>\n

\n <\/p>\n
\n

\n

\n40200<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n

\n

Problema 5:<\/strong> (UESPI 2012)<\/strong>
\nNo quadro a seguir, s\u00e3o iguais as somas dos elementos de cada uma das linhas, de cada uma das colunas e das diagonais. Al\u00e9m disso, os n\u00fameros que aparecem nos quadrados s\u00e3o os naturais de [tex]1[\/tex] at\u00e9 [tex]16[\/tex]. <\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n7&12&A&14\\\\
\n\\hline
\n2&B&8&11\\\\
\n\\hline
\n16&3&10&D\\\\
\n\\hline
\nC&6&15&4\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Quanto vale [tex]A + B + C + D \\, [\/tex]?<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n

\n

\n28<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n

\n

Problema 6:<\/strong> (UFBA)<\/strong>
\n Um rel\u00f3gio que bate de hora em hora <\/strong>o n\u00famero de vezes correspondente a cada hora bater\u00e1, de zero \u00e0s 12 horas, [tex]x[\/tex] vezes.
\nCalcule o dobro da ter\u00e7a parte de [tex]x[\/tex].<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n

\n

\n60<\/strong>
\n\u00c9 60 mesmo! <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nPrecisa de mais ajuda?
\nO pr\u00f3ximo v\u00eddeo pode ajudar!
\nPara assisti-lo \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/span><\/a> e depois na setinha na janela que ir\u00e1 abrir. Ap\u00f3s assistir ao v\u00eddeo, n\u00e3o se esque\u00e7a de fechar a janelinha que se abriu. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

Agosto de 2018.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link da Sala para dispositivos da Apple. A soma [tex]1+2+3+ \\cdots+t[\/tex] Se [tex]t[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex], qual o valor da soma [tex]1+2+3+ \\cdots+t[\/tex]? Para aqueles que sabem o que \u00e9 uma Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica – PA , basta observar que a f\u00f3rmula da soma dos [tex]n[\/tex] primeiros termos da PA … <\/p>\n

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