{"id":73542,"date":"2017-03-07T18:40:32","date_gmt":"2017-03-07T21:40:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=73542"},"modified":"2023-05-21T02:14:31","modified_gmt":"2023-05-21T05:14:31","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-latas-de-tinta","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-latas-de-tinta\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Latas de tinta"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=191240\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema <span style=\"font-size:12px; color:#0000FF\"><br \/>\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) <span style=\"font-weight: normal;\"> (N\u00edvel: M\u00e9dio)<\/span><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>Adaptado do ENEM 2014<\/strong>) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelep\u00edpedo retangular reto, tem as bases quadradas, conforme mostra a figura abaixo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/11\/p8.png\" style=\"border: none;\"alt=\"p8\" width=\"203\" height=\"256\" class=\"aligncenter size-full wp-image-68811\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Ser\u00e1 produzida uma nova lata com o mesmo formato, mas com as dimens\u00f5es da base [tex]25\\%[\/tex] maiores do que as da lata atual.<br \/>\nO que deve acontecer com a dimens\u00e3o da altura  da nova lata para que esta comporte a mesma quantidade de tinta da lata atual?\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSabemos que o formato das latas novas ser\u00e1 o mesmo das latas atuais: <strong>um paralelep\u00edpedo retangular reto com bases quadradas<\/strong>. Assim, se denotarmos por:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]b[\/tex] a medida de cada lado das bases da lata atual;<\/li>\n<li>[tex]b_n[\/tex] a medida de cada lado das bases da nova lata;<\/li>\n<li>[tex]h[\/tex] a altura da lata atual;<\/li>\n<li>[tex]h_n[\/tex] a altura da nova lata;<\/li>\n<li>[tex]V[\/tex] o volume da lata atual;<\/li>\n<li>[tex]V_n[\/tex] o volume  da nova lata;<\/li>\n<\/ul>\n<p>teremos que [tex]\\boxed{V=b^2 \\cdot h}[\/tex] e [tex]\\boxed{V_n=b_n^2 \\cdot h_n}[\/tex].<br \/>\nAs dimens\u00f5es da base da nova lata ser\u00e3o [tex]25\\%[\/tex] ([tex]\\frac{25}{100}[\/tex]) maiores do que as dimens\u00f5es da base da lata atual, ent\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad b_n=b+\\dfrac{25}{100}b=b+\\dfrac{1}{4}b=\\dfrac{5}{4}b.[\/tex]<br \/>\nMas a nova lata dever\u00e1 comportar a mesma quantidade de tinta da lata atual; logo, os volumes das duas latas s\u00e3o iguais e, assim,<br \/>\n[tex]\\qquad b^2 \\cdot h=b_n^2 \\cdot h_n[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Como [tex] b_n=\\dfrac{5}{4}b[\/tex], segue que<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad b^2 \\cdot h=\\left(\\dfrac{5}{4}b \\right)^2 \\cdot h_n[\/tex],<br \/>\nou seja,<br \/>\n[tex]\\qquad h=\\dfrac{25}{16} h_n[\/tex],<br \/>\nou ainda,<br \/>\n[tex]\\qquad h_n=\\dfrac{16}{25} h[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Perceba que [tex]\\dfrac{16}{25}= \\dfrac{64}{100}[\/tex], portanto, <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad h_n=\\dfrac{64}{100} h[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Dessa forma, podemos concluir que a nova lata dever\u00e1 ter uma altura correspondente a [tex]64\\%[\/tex] da altura da lata atual. Isso significa que a medida da altura  atual ter\u00e1 uma redu\u00e7\u00e3o de  [tex]36\\%[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/p8_1.png\" style=\"border:none;\"  alt=\"p8_1\" width=\"561\" height=\"291\" class=\"aligncenter size-full wp-image-73104\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/p8_1.png 561w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/p8_1-300x156.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 561px) 100vw, 561px\" \/><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSabe-se que o volume de um prisma retangular \u00e9 calculado da seguinte maneira: (\u00e1rea da base) x (altura) .<br \/>\nCom o aumento das dimens\u00f5es da base, a \u00e1rea da base passa a ser [tex]\\dfrac{25}{16}\\cdot b^2[\/tex]; assim, a fim de que o volume n\u00e3o se altere, deve-se multiplicar a altura da lata atual por[tex]\\dfrac{ \\,  \\,  \\, 1 \\,  \\,  \\, }{\\frac{25}{16}}=\\dfrac{16}{25}=0,64[\/tex].<br \/>\nAssim, a nova lata tem uma altura cuja dimens\u00e3o representa [tex]64\\%[\/tex] da altura da lata atual.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM <strong>Paralelo 38<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: <strong>Os Aritm\u00e9ticos<\/strong>; <strong>Paralelo 38<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted;border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Latas-de-tinta.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Latas de tinta.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) (N\u00edvel: M\u00e9dio) (Adaptado do ENEM 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelep\u00edpedo retangular reto, tem as bases quadradas, conforme mostra a figura abaixo. 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