{"id":73533,"date":"2017-03-07T18:21:54","date_gmt":"2017-03-07T21:21:54","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=73533"},"modified":"2023-05-21T02:04:26","modified_gmt":"2023-05-21T05:04:26","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-area-de-uma-figura-estranha","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-area-de-uma-figura-estranha\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: \u00c1rea de uma figura estranha"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.) (N\u00edvel: m\u00e9dio)<\/span><\/span> <\/p>\n

\n

(OBMEP 2012<\/strong>) O ret\u00e2ngulo mostrado abaixo foi desenhado em papel quadriculado e mede [tex]4 \\, \\text{cm}[\/tex] de largura por [tex]5 \\, \\text{cm}[\/tex] de altura.<\/p>\n

\"p5\"<\/p>\n

Qual \u00e9 a \u00e1rea da regi\u00e3o cinza?<\/p>\n

(a) [tex]10 \\text{ cm}^2[\/tex]<\/p>\n

(b) [tex]11\\text{ cm}^2[\/tex]<\/p>\n

(c) [tex]12,5 \\text{ cm}^2[\/tex]<\/p>\n

(d) [tex]13 \\text{ cm}^2[\/tex]<\/p>\n

(e) [tex]14,5 \\text{ cm}^2[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\n

Na figura desenhada no papel quadriculado, trace os segmentos de reta [tex]s_1, \\, s_2 \\, [\/tex] e [tex] \\, s_3[\/tex], conforme mostrado na imagem a seguir.<\/p>\n

\"p5_4\"<\/p>\n

\n

\"p5_3\"
\nObserve, na figura ao lado, que ficaram definidos doze tri\u00e2ngulos, quatro a quatro congruentes: <\/p>\n

    \n
  • quatro tri\u00e2ngulos com \u00e1rea [tex]{\\textcolor{#8B008B}{A_1}}[\/tex];<\/li>\n
  • quatro tri\u00e2ngulos com \u00e1rea [tex]{\\textcolor{blue}{A_2}}[\/tex];<\/li>\n
  • quatro tri\u00e2ngulos com \u00e1rea [tex]{\\textcolor{red}{A_3}}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    \n

    Assim, podemos observar que:<\/p>\n

      \n
    • a \u00e1rea total da regi\u00e3o branca, [tex]A_b[\/tex], \u00e9 dada por [tex]A_b=2{\\textcolor{#8B008B}{A_1}}+2{\\textcolor{blue}{A_2}}+2{\\textcolor{red}{A_3}}[\/tex];<\/li>\n
    • a \u00e1rea total da regi\u00e3o cinza, [tex]A_c[\/tex], \u00e9 dada por [tex]A_c=2{\\textcolor{#8B008B}{A_1}}+2{\\textcolor{blue}{A_2}}+2{\\textcolor{red}{A_3}}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

      Como [tex]A_b=A_c[\/tex] e o ret\u00e2ngulo inicialmente desenhado mede [tex]4 \\text{ cm}[\/tex] de largura por [tex]5 \\text{ cm}[\/tex] de altura, ent\u00e3o
      \n[tex]\\qquad \\boxed{A_c=\\dfrac{4 \\times 5}{2}= 10 \\, \\text{ cm}^2}[\/tex],
      \nou seja, a alternativa (a) \u00e9 a correta<\/strong>.<\/p>\n

      \n

      Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

      \n

      \n

      Um aplicativo para ajudar<\/p>\n

      \n

      Voc\u00ea pode utilizar o applet<\/em> abaixo para observar que, de fato:<\/p>\n

        \n
      • os quatro tri\u00e2ngulos assinalados na figura inicial com [tex]{\\textcolor{#8B008B}{A_1}}[\/tex] s\u00e3o congruentes;<\/li>\n
      • os quatro tri\u00e2ngulos assinalados na figura inicial com [tex]{\\textcolor{blue}{A_2}}[\/tex] s\u00e3o congruentes;<\/li>\n
      • os quatro tri\u00e2ngulos assinalados na figura inicial com [tex]{\\textcolor{red}{A_3}}[\/tex] s\u00e3o congruentes.<\/li>\n<\/ul>\n

        Sabemos que, na pr\u00e1tica, dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes se podem ser sobrepostos por meio de deslocamentos convenientes. Assim, movimente os tri\u00e2ngulos lil\u00e1s, vermelho ou azul desenhados fora do quadriculado, um de cada vez, e tente coloc\u00e1-los sobre os quatro tri\u00e2ngulos desenhados na figura inicial e com a respectiva identifica\u00e7\u00e3o [tex]{\\textcolor{#8B008B}{A_1}}[\/tex] , ou [tex]{\\textcolor{blue}{A_2}}[\/tex], ou [tex]{\\textcolor{red}{A_3}}[\/tex].<\/p>\n

        \n

        \nInstru\u00e7\u00f5es:<\/strong>
        \n1)<\/strong> Aguarde o aplicativo carregar completamente.
        \n2)<\/strong> Para transladar um tri\u00e2ngulo colorido (mov\u00ea-lo horizontalmente ou verticalmente no plano, sem gir\u00e1-lo), clique sobre ele, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento.
        \n3)<\/strong> Para girar um tri\u00e2ngulo colorido, clique sobre o v\u00e9rtice identificado com um ponto colorido, mantenha o mouse pressionado e gire-o.
        \n4)<\/strong> Para reiniciar a constru\u00e7\u00e3o, clique sobre as setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
        \n5)<\/strong> Lembre-se de que a visualiza\u00e7\u00e3o de v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es particulares de um fato matem\u00e1tico n\u00e3o substitui sua demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

        \n