{"id":73388,"date":"2017-03-05T13:33:45","date_gmt":"2017-03-05T16:33:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=73388"},"modified":"2023-04-06T01:42:21","modified_gmt":"2023-04-06T04:42:21","slug":"problemao-area-do-triangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-area-do-triangulo\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: \u00c1rea do tri\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nConsiderando um tri\u00e2ngulo ABC<\/strong>, tra\u00e7am-se por um ponto interno O tr\u00eas paralelas a seus lados e obt\u00e9m-se tr\u00eas tri\u00e2ngulos menores de \u00e1reas [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex], conforme figura abaixo. <\/p>\n

\"Tri\u00e2ngulos<\/p>\n

Mostre que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo ABC <\/strong>\u00e9 dada por [tex](\\sqrt{a}+\\sqrt{b}+\\sqrt{c})^2[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Ferramentas que ajudam<\/p>\n

\nPara resolvermos este problema, vamos relembrar algumas propriedades.<\/p>\n

\n

\nPropriedade [tex]1[\/tex]<\/strong><\/span>: Os lados opostos de um paralelogramo (quadril\u00e1tero cujos lados opostos s\u00e3o paralelos) s\u00e3o congruentes.<\/p>\n

\"f046\" <\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\nPropriedade [tex]2[\/tex]<\/strong><\/span>: Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam \u00e2ngulos correspondentes congruentes.<\/p>\n

\"0f49\"<\/p>\n

\n

Reta transversal<\/em><\/strong> a outras retas \u00e9 uma reta que intersecta essas outras retas em pontos diferentes.<\/div>\n

\n

\nPropriedade [tex]3[\/tex]<\/strong><\/span>: Caso de Semelhan\u00e7a A.A.<\/strong> (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo): Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.
\nAlguns autores chamam este Caso de Semelhan\u00e7a de caso A.A.A. De fato, uma vez que a soma dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 sempre [tex]180^\\circ[\/tex] (Lei Angular de Tales), se entre dois tri\u00e2ngulos h\u00e1 uma correspond\u00eancia entre dois pares de \u00e2ngulos, tamb\u00e9m haver\u00e1 uma correspond\u00eancia entre o terceiro par. Assim, o caso (\u00e2ngulo – \u00e2ngulo) tamb\u00e9m pode ser visto como caso (\u00e2ngulo – \u00e2ngulo – \u00e2ngulo).<\/div>\n

\n

\nPropriedade [tex]4[\/tex]<\/strong><\/span>: A raz\u00e3o entre as \u00e1reas de dois tri\u00e2ngulos semelhantes \u00e9 o quadrado da raz\u00e3o de semelhan\u00e7a.<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nPois bem, vamos \u00e0 solu\u00e7\u00e3o.
\nNa figura abaixo, considere os segmentos de comprimentos [tex]x[\/tex], [tex]y[\/tex] e [tex]z[\/tex] na base BC <\/strong>do tri\u00e2ngulo ABC<\/strong>. Note que [tex]PO=x[\/tex] e [tex]OQ=z[\/tex], pela propriedade [tex]1[\/tex]<\/strong><\/span>, j\u00e1 que os quadril\u00e1teros PBEO <\/strong>e OFCQ <\/strong>s\u00e3o paralelogramos.<\/p>\n

\"f047\"<\/p>\n

\n

Pelo caso de semelhan\u00e7a A.A.A. (propriedade [tex]3[\/tex]<\/strong><\/span>), os tr\u00eas tri\u00e2ngulos menores formados quando s\u00e3o tra\u00e7adas as paralelas aos lados de ABC <\/strong>s\u00e3o semelhantes ao tri\u00e2ngulo ABC<\/strong>, pois, pela propriedade [tex]2[\/tex]<\/strong><\/span> usada repetidas vezes, as medidas dos \u00e2ngulos internos dos tri\u00e2ngulos menores corresponder\u00e3o \u00e0s medidas dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo ABC<\/strong>. <\/p>\n

\"f048\"<\/p>\n

\n

Assim, denotando por [tex]S'[\/tex] a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo ABC<\/strong>, podemos escrever a seguinte rela\u00e7\u00e3o entre as \u00e1reas, advinda da semelhan\u00e7a entre os tri\u00e2ngulos RPO <\/strong> e ABC<\/strong>, cuja raz\u00e3o \u00e9 [tex]\\dfrac{x}{x+y+z}[\/tex], e da utiliza\u00e7\u00e3o da Propriedade [tex]4[\/tex]<\/strong><\/span>:<\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{S\u2019}=\\left(\\dfrac{x}{x+y+z}\\right)^2[\/tex],<\/p>\n

donde<\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\dfrac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{S\u2019}}=\\dfrac{x}{x+y+z}. \\qquad \\qquad (I)[\/tex]<\/p>\n

Analogamente, temos: <\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\dfrac{\\sqrt{b}}{\\sqrt{S\u2019}}=\\dfrac{y}{x+y+z} \\qquad (II)[\/tex]<\/p>\n

e<\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\dfrac{\\sqrt{c}}{\\sqrt{S\u2019}}=\\dfrac{z}{x+y+z}. \\qquad (III)[\/tex]<\/p>\n

Somando [tex](I),\\ (II), \\ (III)[\/tex], obtemos:<\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\dfrac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{S\u2019}}+\\dfrac{\\sqrt{b}}{\\sqrt{S\u2019}}+\\dfrac{\\sqrt{c}}{\\sqrt{S\u2019}}=\\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1[\/tex],<\/p>\n

ou seja, <\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\dfrac{\\sqrt{a}+\\sqrt{b}+\\sqrt{c}}{\\sqrt{S\u2019}}=1[\/tex].<\/p>\n

Assim, <\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\sqrt{S\u2019}=\\sqrt{a}+\\sqrt{b}+\\sqrt{c}[\/tex]<\/p>\n

e, finalmente, <\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\boxed{S\u2019=\\left(\\sqrt{a}+\\sqrt{b}+\\sqrt{c}\\right)^2}[\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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