{"id":72724,"date":"2017-02-23T20:23:27","date_gmt":"2017-02-23T23:23:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=72724"},"modified":"2023-04-06T01:44:11","modified_gmt":"2023-04-06T04:44:11","slug":"problemao-cubos-perfeitos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-cubos-perfeitos\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Cubos Perfeitos"},"content":{"rendered":"

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\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nSeja [tex]n[\/tex] um inteiro n\u00e3o negativo qualquer.
\nProve que os n\u00fameros [tex] \\, n+2 \\, [\/tex] e [tex] \\, n^2+n+1 \\, [\/tex] n\u00e3o podem ser ambos cubos perfeitos.<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Propriedades que ajudam<\/p>\n

\nVoc\u00ea sabe o que \u00e9 um cubo perfeito?<\/p>\n

\n

\nChamamos cubo perfeito<\/strong> a todo n\u00famero inteiro da forma [tex]n^3[\/tex], para algum [tex]n\\in\\mathbb{Z}[\/tex].
\nAssim, ao afirmarmos que um inteiro [tex]m[\/tex] \u00e9 um cubo perfeito, isso significa que existe um n\u00famero inteiro [tex]n[\/tex] tal que [tex]m=n^3[\/tex].<\/div>\n

\n

Na solu\u00e7\u00e3o do problema, vamos utilizar duas propriedades matem\u00e1ticas envolvendo cubos de n\u00fameros naturais.<\/p>\n

\n

\n[tex](i)[\/tex]<\/span> O produto de dois cubos perfeitos naturais \u00e9 tamb\u00e9m um cubo perfeito.
\n[tex](ii)[\/tex]<\/span> Os \u00fanicos n\u00fameros naturais que s\u00e3o cubos e consecutivos s\u00e3o [tex]0[\/tex] e [tex]1[\/tex].<\/div>\n

\n

Se voc\u00ea n\u00e3o sabe como justificar essas duas propriedades, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
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\n[tex](i)[\/tex]<\/span> Sejam [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] n\u00fameros naturais e observe que
\n[tex]\\qquad k^3 \\cdot t^3=(k\\cdot t)^3[\/tex].
\nComo [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, ent\u00e3o o produto [tex]z=k\\cdot t[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero natural.
\nConsequentemente,
\n[tex]\\qquad k^3 \\cdot t^3=(z)^3[\/tex], com [tex] z \\in \\mathbb{N}[\/tex],
\nou seja, [tex]k^3 \\cdot t^3[\/tex] \u00e9 um cubo perfeito. <\/p>\n

\n

[tex](ii)[\/tex]<\/span> A justificativa para esta propriedade \u00e9 mais longa; voc\u00ea poder\u00e1 encontr\u00e1-la clicando AQUI<\/strong><\/a>.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nSeja [tex]n[\/tex] um inteiro n\u00e3o negativo.
\nSe [tex]n+2[\/tex] e [tex]n^2+n+1[\/tex] fossem cubos perfeitos, o seu produto tamb\u00e9m seria um cubo perfeito, de acordo com a propriedade [tex](i)[\/tex]<\/span>.
\nComo
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}(n+2)(n^2+n+1)&=n^3 +n^2+n+2n^2+2n+2\\\\
\n&=n^3+3n^2+3n+2\\\\
\n&=(n+1)^3+1,\\end{align*}[\/tex]
\nent\u00e3o [tex](n+1)^3+1=x^3,[\/tex] para algum [tex]x\\in\\mathbb{N}[\/tex].<\/p>\n

Dessa forma, ter\u00edamos dois naturais consecutivos e cubos perfeitos, a saber: [tex](n+1)^3[\/tex] e [tex](n+1)^3+1=x^3[\/tex].
\nParticularmente, observe que, como [tex]n\\geqslant 0[\/tex], ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad n+1\\geqslant 1[\/tex];
\n[tex]\\qquad(n+1)^3\\geqslant 1[\/tex];
\n[tex]\\qquad(n+1)^3+1\\geqslant 2[\/tex];
\ne, portanto, n\u00e3o estamos no caso \u00fanico dos n\u00fameros consecutivos [tex]0[\/tex] e [tex]1[\/tex].
\nDessa forma, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel que [tex](n+1)^3+1[\/tex] seja cubo perfeito e, consequentemente, [tex]n+2[\/tex] e [tex]n^2+n+1[\/tex] n\u00e3o podem ser ambos cubos perfeitos.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube ESQUADR\u00c3O MATEM\u00c1TICO<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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