A soma dos quadrados de [tex]6[\/tex] n\u00fameros positivos consecutivos \u00e9 igual \u00e0 soma dos quadrados dos [tex]5[\/tex] inteiros seguintes:
\n[tex]\\underbrace{55^2+56^2 +57^2+58^2+59^2+60^2}_{k+1=6}=\\underbrace{61^2+62^2+63^2+64^2+65^2}_{k=5}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
\n
\n
\n(a)<\/strong> Precisamos encontrar [tex]k+1=3[\/tex] n\u00fameros positivos consecutivos cuja soma dos quadrados seja igual \u00e0 soma dos quadrados dos [tex]k=2[\/tex] inteiros seguintes.
\nObserve que a igualdade
\n[tex]\\qquad \\boxed{10^2+11^2+12^2=13^2+14^2}[\/tex]
\nmostra que a soma dos quadrados dos tr\u00eas n\u00fameros consecutivos [tex]10,11[\/tex] e [tex]12[\/tex] \u00e9 igual \u00e0 soma dos quadrados dos dois inteiros seguintes, [tex]13[\/tex] e [tex]14[\/tex].<\/p>\n\n
(b)<\/strong> Para solucionarmos este item, fixado um inteiro positivo [tex]k[\/tex], devemos encontrar uma sequ\u00eancia de [tex]2k+1[\/tex] n\u00fameros positivos consecutivos de forma que a soma dos quadrados dos [tex]k+1[\/tex] primeiros inteiros seja a soma dos quadrados dos [tex]k[\/tex] inteiros seguintes.
\nSuponha, ent\u00e3o, que os [tex]2k+1[\/tex] n\u00fameros positivos consecutivos
\n[tex]\\qquad n-k, \\, n-k+1, \\, \\ldots, \\, n-1, \\, n, \\, n+1, \\, \\ldots, \\, n+k[\/tex]
\nsejam uma solu\u00e7\u00e3o para a igualdade relativa ao inteiro positivo [tex]k[\/tex], para algum inteiro positivo [tex]n[\/tex]. Assim, a soma dos quadrados dos [tex]k+1[\/tex] n\u00fameros consecutivos de [tex]n-k[\/tex] a [tex]n[\/tex] \u00e9 igual \u00e0 soma dos quadrados dos [tex]k[\/tex] inteiros seguintes, de [tex]n+1[\/tex] a [tex]n+k[\/tex].
\nIsto significa que:
\n[tex]\\qquad \\underbrace{(n-k)^2+(n-k+1)^2 +\\ldots+(n-1)^2+n^2}_{k+1}=\\\\
\n\\qquad =\\underbrace{(n+1)^2+\\ldots+(n+k-1)^2 +(n+k)^2}_{k}.\\qquad (iii)[\/tex]
\nPrecisamos, agora, encontrar uma igualdade que relacione [tex]n[\/tex] com [tex]k[\/tex].<\/p>\nObserve que, encontrando uma rela\u00e7\u00e3o entre [tex]n[\/tex] e [tex]k[\/tex], a partir de qualquer inteiro positivo [tex]k[\/tex], calculamos [tex]n[\/tex] e, em seguida, conseguiremos obter os n\u00fameros
\n[tex]\\qquad n-k, \\, n-k+1, \\, \\ldots \\, , \\, n-1, \\, n, \\, n+1, \\, \\ldots \\, , \\, n+k[\/tex]
\nque formam a igualdade [tex](iii)[\/tex], relativa ao n\u00famero dado [tex]k[\/tex].
\nPor isso, chamaremos a igualdade [tex](iii)[\/tex] de “f\u00f3rmula geral”.<\/div>\n
Note que da igualdade [tex](iii)[\/tex] podemos obter que
\n[tex]\\qquad n^2=((n+1)^2-(n-1)^2)+((n+2)^2-(n-2)^2)+\\ldots+ ((n+k)^2-(n-k)^2)[\/tex]
\ne, portanto,
\n[tex]\\quad \\begin{align*}
\nn^2&=((n+1)^2-(n-1)^2)+((n+2)^2-(n-2)^2)+\\ldots+ ((n+k)^2-(n-k)^2)\\\\
\nn^2&\\stackrel{(i)}{=} (((n+\\cancel{1})+(n-\\cancel{1}))\\cdot((\\cancel{n}+1)-(\\cancel{n}-1)))+ \\\\
\n&\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,(((n+\\cancel{2})+(n-\\cancel{2}))\\cdot((\\cancel{n}+2)-(\\cancel{n}-2)))+\\\\
\n&\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\ldots+ (((n+\\cancel{k})+(n-\\cancel{k}))\\cdot((\\cancel{n}+k)-(\\cancel{n}-k)))
\n\\\\
\nn^2&=(2n\\cdot (2\\cdot 1))+(2n\\cdot (2\\cdot 2))+\\ldots +(2n\\cdot (2\\cdot k))\\\\
\nn^2&=4n+4n\\cdot 2+\\ldots +4n\\cdot k\\\\
\nn^2&=4n(1+2+\\ldots+k)\\\\
\nn^2&\\stackrel{(ii)}{=}4n\\cdot\\dfrac{(k+1)k}{2}\\\\
\nn^2&=2nk(k+1).
\n\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n
\n
Muito bem, o que essa s\u00e9rie de igualdades nos mostra \u00e9 que as igualdades
\n[tex]\\qquad \\boxed{(n-k)^2+(n-k+1)^2 +\\ldots (n-1)^2+n^2=\\\\
\n\\;=(n+1)^2+\\ldots+(n+k-1)^2 +(n+k)^2} \\qquad \\qquad (iii)[\/tex]
\ne
\n[tex]\\qquad \\boxed{n^2=2nk(k+1)} \\qquad \\qquad (iv)[\/tex]
\ns\u00e3o equivalentes, ou seja,
\n●<\/span> se temos [tex](iii)[\/tex], temos tamb\u00e9m [tex](iv)[\/tex]
\ne, reciprocamente,
\n●<\/span> se temos[tex](iv)[\/tex], temos tamb\u00e9m [tex](iii)[\/tex].
\nComo queremos que [tex]n[\/tex] seja um inteiro positivo, ent\u00e3o [tex]n\\ne 0[\/tex]; logo ainda podemos escrever [tex](iv)[\/tex] como [tex]\\dfrac{n^2}{n}=\\dfrac{2nk(k+1)}{n}[\/tex] e, portanto, [tex]n=2k(k+1).[\/tex]
\nAssim, para obtermos [tex](iii)[\/tex] e garantirmos que a soma dos quadrados dos [tex]k+1[\/tex] n\u00fameros consecutivos de [tex]n-k[\/tex] a [tex]n[\/tex] seja igual \u00e0 soma dos quadrados dos [tex]k[\/tex] inteiros seguintes, de [tex]n+1[\/tex] a [tex]n+k[\/tex], basta tomarmos o inteiro [tex]n[\/tex] tal que [tex]n=2k(k+1)=2k^2+2k[\/tex].
\nNesse caso:
\n➤<\/span> os n\u00fameros consecutivos de [tex]n-k[\/tex] a [tex]n[\/tex] ser\u00e3o os n\u00fameros de [tex]2k^2+k[\/tex] a [tex]2k^2+2k[\/tex]
\n➤<\/span> e os consecutivos de [tex]n+1[\/tex] a [tex]n+k[\/tex] ser\u00e3o os n\u00fameros de [tex]2k^2+2k+1[\/tex] a [tex]2k^2+3k[\/tex].
\nE esta \u00e9 a solu\u00e7\u00e3o geral do nosso problema, para todo inteiro positivo [tex]k[\/tex].<\/p>\n\n
Por exemplo, para [tex]k=2[\/tex], obtemos [tex]n=2\\cdot 2^2+2\\cdot 2=8+4=12[\/tex] e
\n➤<\/span> os n\u00fameros consecutivos s\u00e3o de [tex]n-k=10[\/tex] a [tex]n=12[\/tex]
\n➤<\/span> e de [tex]n+1=13[\/tex] a [tex]n+k=14[\/tex],
\nou seja, [tex]10^2+11^2+12^2=13^2+14^2[\/tex], como visto no item (a)<\/strong>.<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Abaixo, mostramos alguns exemplos nos quais a soma dos quadrados de [tex]k+1[\/tex] n\u00fameros positivos consecutivos \u00e9 igual \u00e0 soma dos quadrados dos [tex]k[\/tex] inteiros seguintes. [tex]k=1[\/tex]: [tex] 3^2+4^2 = 5^2;[\/tex] [tex]k=4[\/tex]: [tex] 36^2+37^2+38^2+39^2 +40^2 = 41^2+42^2+43^2+44^2;[\/tex] [tex]k=5[\/tex]: [tex] 55^2+56^2 +57^2+58^2+59^2+60^2 = 61^2+62^2+63^2+64^2+65^2.[\/tex] (a) Encontre a … <\/p>\n
Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-71972","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/71972","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=71972"}],"version-history":[{"count":28,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/71972\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186400,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/71972\/revisions\/186400"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=71972"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}