{"id":7117,"date":"2013-07-19T22:54:06","date_gmt":"2013-07-20T01:54:06","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=7117"},"modified":"2023-01-02T21:11:01","modified_gmt":"2023-01-03T00:11:01","slug":"torneiras-com-vazoes-diferentes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/torneiras-com-vazoes-diferentes\/","title":{"rendered":".Problema: Torneiras com vaz\u00f5es diferentes"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Duas torneiras juntas enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta cinco horas a mais do que a outra para encher o mesmo tanque. Quanto tempo a torneira com maior vaz\u00e3o gasta para encher, sozinha, o tanque?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-6024 aligncenter\" style=\"border: 0px;\" alt=\"torneiras\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/torneiras2.jpg\" width=\"297\" height=\"179\" \/><\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Vamos chamar as vaz\u00f5es das torneiras de [tex]T_1[\/tex] e [tex]T_2[\/tex], sendo respectivamente a maior e a menor vaz\u00e3o.<\/p>\n<ul>\n<li>Sabemos que em [tex]6 [\/tex] horas as torneiras juntas conseguem encher o tanque, cujo volume chamaremos de [tex]T_a[\/tex]. Sendo assim,  [tex]\\boxed{6\\cdot(T_1 + T_2)=T_a}\\,.[\/tex]<\/li>\n<li>Em um intervalo de tempo [tex]x[\/tex], a torneira de vaz\u00e3o [tex]T_1[\/tex] enche o tanque sozinha, o que pode ser representado por [tex]\\boxed{T_1 \\cdot x = T_a}\\,.[\/tex]<\/li>\n<li>Mas em [tex]x+5[\/tex] horas, a torneira de vaz\u00e3o [tex]T_2[\/tex] enche o mesmo tanque, o que pode ser representado por [tex]\\boxed{T_2\\cdot(x+5)=T_a}\\,.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Se igualarmos as duas primeiras equa\u00e7\u00f5es temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad 6\\cdot(T_1+T_2)=T_1\\cdot x \\\\<br \/>\n\\qquad  T_2=\\dfrac{(x-6)\\cdot T_1}{6}\\,.[\/tex]<br \/>\nIgualando a segunda e a terceira equa\u00e7\u00f5es teremos [tex]T_1\\cdot x=T_2\\cdot(x+5)[\/tex].<br \/>\nSubstituindo o valor de [tex]T_2[\/tex], que descobrimos anteriormente, nessa \u00faltima equa\u00e7\u00e3o segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad T_1\\cdot x=[\/tex] [tex]\\dfrac{(x-6)\\cdot T_1}{6}\\cdot(x+5)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  6x = (x-6)(x+5)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  6x = x^2+5x-6x-30[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  x^2 -7x-30=0\\,.[\/tex]<br \/>\nUtilizando a f\u00f3rmula de resolu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau, teremos dois valores para [tex]x[\/tex], que s\u00e3o [tex]10\\,[\/tex] e [tex]\\,-3[\/tex]. Como o tempo n\u00e3o pode ser negativo, ent\u00e3o o tempo que a torneira de maior vaz\u00e3o leva para encher o tanque sozinha \u00e9 [tex]10[\/tex] horas. <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\"> Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo Clube <strong>Aprendizes dos N\u00fameros<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g3\" style=\"width: 70%;\">Participaram da discuss\u00e3o do problema os seguintes Clubes: <strong> Aprendizes dos N\u00fameros; SUPER LIGA. <\/strong><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Duas torneiras juntas enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta cinco horas a mais do que a outra para encher o mesmo tanque. Quanto tempo a torneira com maior vaz\u00e3o gasta para encher, sozinha, o tanque? 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