{"id":70933,"date":"2017-01-25T23:43:28","date_gmt":"2017-01-26T01:43:28","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=70933"},"modified":"2023-04-06T01:28:59","modified_gmt":"2023-04-06T04:28:59","slug":"problema-olimpico-nivel-c-fato-curioso-sobre-angulos-de-tex-36circtex","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-olimpico-nivel-c-fato-curioso-sobre-angulos-de-tex-36circtex\/","title":{"rendered":".Problema Ol\u00edmpico – N\u00edvel C: Fato curioso sobre \u00e2ngulos de 36\u00ba"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema<\/p>\n

\nProve a seguinte desigualdade: [tex]cos 36^\\circ \\gt tan 36^\\circ[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Estrat\u00e9gia de solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n
\nA estrat\u00e9gia para solu\u00e7\u00e3o deste problema ser\u00e1 estabelecer uma s\u00e9rie de equival\u00eancias entre desigualdades, partindo da desigualdade que queremos provar, at\u00e9 obtermos uma desigualdade que sabemos ser verdadeira.
\nNesse tipo de racioc\u00ednio, \u00e9 important\u00edssimo termos certeza de que todas as desigualdades s\u00e3o equivalentes, para que possamos utilizar a volta do caminho que vamos estabelecer e garantir que temos, de fato, a desigualdade inicial. Assim, o que iremos estabelecer \u00e9 uma sequ\u00eancia do tipo
\n[tex]\\qquad \\boxed{cos 36^\\circ \\gt tan 36^\\circ} \\iff D_1 \\iff D_2 \\iff \\cdots \\iff D_n[\/tex],
\nna qual [tex]D_1[\/tex], [tex]D_2[\/tex], . . . , [tex]D_n[\/tex] s\u00e3o desigualdades, sendo [tex]D_n[\/tex] uma desigualdade verdadeira.
\nDessa forma, como [tex]\\boxed{cos 36^\\circ \\gt tan 36^\\circ}[\/tex] e [tex]D_n[\/tex] s\u00e3o equivalentes e [tex]D_n[\/tex] \u00e9 verdadeira, ent\u00e3o [tex]cos 36^\\circ \\gt tan 36^\\circ[\/tex] ser\u00e1 tamb\u00e9m uma desigualdade verdadeira e com isso podemos concluir a demonstra\u00e7\u00e3o.\n<\/div>\n

\n

Talvez ajude relembrar que duas afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o equivalentes<\/strong> se, sempre que uma for verdadeira, a outra tamb\u00e9m o \u00e9. Assim, duas afirma\u00e7\u00f5es [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o equivalentes quando:
\n➤<\/span> se [tex]A[\/tex] for verdadeira, ent\u00e3o [tex]B[\/tex] \u00e9 verdadeira;
\ne<\/strong>
\n➤<\/span> se [tex]B[\/tex] for verdadeira, ent\u00e3o [tex]A[\/tex] \u00e9 verdadeira.
\nObservamos que, se “[tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o afirma\u00e7\u00f5es equivalentes<\/strong>“, podemos tamb\u00e9m dizer que “[tex]A[\/tex] \u00e9 equivalente a [tex]B[\/tex]<\/strong>” (em s\u00edmbolos, [tex]A \\iff B[\/tex]) e que “[tex]B[\/tex] \u00e9 equivalente a [tex]A[\/tex]<\/strong>” (em s\u00edmbolos, [tex]B \\iff A[\/tex]).
\nDessa forma, se temos a equival\u00eancia entre uma afirma\u00e7\u00e3o [tex]A[\/tex] e uma afirma\u00e7\u00e3o [tex]B[\/tex], temos tamb\u00e9m a equival\u00eancia entre a afirma\u00e7\u00e3o [tex]B[\/tex] e a afirma\u00e7\u00e3o [tex]A[\/tex]. <\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o do problema<\/p>\n

\nAntes de apresentarmos a solu\u00e7\u00e3o, recordemos algumas rela\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas que utilizaremos.
\n<\/p>\n
\n

[tex] cos\\, 2x=2cos^2x-1[\/tex] [tex] \\qquad (i)[\/tex] <\/span><\/p>\n

\n

[tex] cos\\, (90^\\circ -x)=sen \\, x[\/tex] [tex] \\qquad (ii)[\/tex] <\/span><\/p>\n

\n

[tex] sen (x+y)=sen \\, x \\, cos \\, y+sen \\, y \\, cos \\, x.[\/tex] [tex] \\qquad (iii)[\/tex] <\/span>\n<\/div>\n

De acordo com a estrat\u00e9gia apresentada, a partir da desigualdade [tex]cos36^{\\circ}> tan36^{\\circ}[\/tex] obteremos uma sequ\u00eancia de desigualdades equivalentes, visando encontrar uma \u00faltima desigualdade para a qual seja poss\u00edvel garantir sua veracidade.
\nEnt\u00e3o, vamos l\u00e1!<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
[tex] cos36^{\\circ}\\gt tan36^{\\circ}[\/tex]<\/td>\n[tex]\\iff 2 cos36^{\\circ} \\gt 2 tan36^{\\circ}[\/tex]<\/td>\n(Multiplicando a desigualdade por 2.)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 2cos36^{\\circ}\\gt 2 \\, \\dfrac{sen36^{\\circ}}{cos36^{\\circ}}[\/tex]<\/td>\n (Usando a defini\u00e7\u00e3o de tangente.)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 2cos^2 36^{\\circ}\\gt 2 sen 36^{\\circ}[\/tex]<\/td>\n (Multiplicando a desigualdade por [tex]cos 36^{\\circ}[\/tex].)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 1+ cos 72^{\\circ}\\gt 2 sen 36^{\\circ} [\/tex]<\/td>\n (Por [tex](i)[\/tex]<\/span>.)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 1+ cos (90^{\\circ}-18^{\\circ})\\gt 2 sen (30^{\\circ}+6^{\\circ}) [\/tex]<\/td>\n([tex]72=90-18[\/tex] e [tex]36=30+6[\/tex].) <\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 1+ sen 18^{\\circ} \\gt 2 sen (30^{\\circ}+6^{\\circ}) [\/tex]<\/td>\n (Por [tex] (ii)[\/tex]<\/span>.)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 1+ sen 18^{\\circ}\\gt 2 (sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ} + sen 30^{\\circ} cos 6^{\\circ}) [\/tex]<\/td>\n (Por [tex] (iii)[\/tex]<\/span>.) <\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 1+ sen 18^{\\circ}\\gt 2 sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ} + cos 6^{\\circ} [\/tex]<\/td>\n ([tex]sen 30^{\\circ} = \\frac{1}{2}[\/tex].)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 1+ sen (9^{\\circ}+9^{\\circ})\\gt 2 sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ} + cos 6^{\\circ} [\/tex]<\/td>\n ([tex]18=9+9[\/tex].)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 1+ 2 sen 9^{\\circ} cos9^{\\circ}\\gt 2 sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ} + cos 6^{\\circ}[\/tex] <\/td>\n (Por [tex] (iii)[\/tex]<\/span>.)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n[tex]\\iff 1+ 2 sen 9^{\\circ} cos9^{\\circ}>cos 6^{\\circ} + 2 sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ}[\/tex] <\/td>\n(Reordenando o termo da direita.)\n <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Com um pouco de objetividade conseguimos mostrar que a \u00faltima desigualdade
\n[tex]\\qquad 1+ 2 sen 9^{\\circ} cos9^{\\circ}>cos 6^{\\circ} + 2 sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ}[\/tex] [tex] \\qquad \\qquad (iv)[\/tex] <\/span>
\n\u00e9 verdadeira. Para isso, podemos utilizar o applet<\/em> abaixo para observar que, no primeiro quadrante do circulo trigonom\u00e9trico:
\n➤<\/span> aumentando a medida do \u00e2ngulo, aumentamos o valor do seno
\n➤<\/span> aumentando a medida do \u00e2ngulo, diminu\u00edmos o valor do cosseno
\ne, assim, perceber que valem as seguintes desigualdades, a princ\u00edpio nada evidentes, mas verdadeiras:
\n[tex]\\qquad cos 0^{\\circ} \\gt cos 6^{\\circ}[\/tex]; [tex] \\qquad \\qquad \\, \\, (v)[\/tex] <\/span>
\n[tex]\\qquad sen 9^{\\circ} \\gt sen 6^{\\circ}[\/tex]; [tex] \\qquad \\qquad \\, (vi)[\/tex] <\/span>
\n[tex]\\qquad cos 9^{\\circ} \\gt cos 30^{\\circ}[\/tex]. [tex] \\qquad \\qquad (vii)[\/tex] <\/span>
\nObserve que, multiplicando as desigualdades [tex] (vi)[\/tex] <\/span> e [tex] (vii)[\/tex] <\/span> termo a termo (o que pode ser feito sem preocupa\u00e7\u00e3o j\u00e1 que todos os termos s\u00e3o positivos), obtemos
\n[tex]\\qquad sen9^{\\circ} cos 9^{\\circ} \\gt sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ}[\/tex]
\ndonde
\n[tex] \\qquad 2sen9^{\\circ} cos 9^{\\circ} \\gt 2 sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ}[\/tex].
\nAgora, somando termo a termo esta \u00faltima desigualdade com a desigualdade [tex] (v)[\/tex]<\/span>, obtemos
\n[tex] \\qquad cos 0^{\\circ}+2sen9^{\\circ} cos 9^{\\circ} \\gt cos 6^{\\circ}+2 sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ}[\/tex],
\nmas, como [tex]cos 0^{\\circ} = 1[\/tex], segue que
\n[tex] \\qquad 1+2sen9^{\\circ} cos 9^{\\circ} \\gt cos 6^{\\circ}+2 sen 6^{\\circ} cos 30^{\\circ}[\/tex],
\no que mostra que a desigualdade [tex] (iv)[\/tex] <\/span> \u00e9 verdadeira.
\nComo a desigualdade [tex] (iv)[\/tex] <\/span> \u00e9 equivalente \u00e0 desigualdade [tex]cos 36^\\circ \\gt tan 36^\\circ[\/tex], provamos, de fato, que [tex]\\boxed{cos 36^\\circ \\gt tan 36^\\circ}[\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Um aplicativo para ajudar<\/p>\n

\n Voc\u00ea pode utilizar o applet<\/em> abaixo para observar que, no primeiro quadrante do circulo trigonom\u00e9trico:
\n➤<\/span> aumentando a medida do \u00e2ngulo, aumentamos o valor do seno;
\n➤<\/span> aumentando a medida do \u00e2ngulo, diminu\u00edmos o valor do cosseno.<\/p>\n

\n

\n

Instru\u00e7\u00f5es:<\/strong>
\n1)<\/strong> Aguarde o aplicativo carregar completamente.
\n2)<\/strong> Clique sobre o ponto P<\/strong>, mantenha o mouse pressionado e movimente o ponto.
\n3)<\/strong> Para cada \u00e2ngulo de medida [tex]\\theta[\/tex] definido, observe os respectivos valores do seno ([tex]sen\\theta[\/tex]) e do cosseno ([tex]cos\\theta[\/tex]).
\n4)<\/strong> Para movimentar automaticamente o ponto P<\/strong>, clique no \u00edcone ► que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo.
\n5)<\/strong> Para parar a anima\u00e7\u00e3o, basta clicar no \u00edcone ||<\/strong> que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo durante a anima\u00e7\u00e3o.
\n6)<\/strong> Para reiniciar o aplicativo, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
\n7)<\/strong> Lembre-se de que o GeoGebra <\/em><\/strong>trabalha com arredondamentos e que a visualiza\u00e7\u00e3o de v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es particulares de um fato matem\u00e1tico n\u00e3o substitui sua demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

\n