{"id":70256,"date":"2016-12-26T21:17:45","date_gmt":"2016-12-26T23:17:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=70256"},"modified":"2023-04-06T01:34:26","modified_gmt":"2023-04-06T04:34:26","slug":"problemao-equacao-da-circunferencia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-equacao-da-circunferencia\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Equa\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nConsidere a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2 + y^2 – 2mx – 4(m+1)y +3m + 14 = 0[\/tex].
\n(a)<\/strong> Determine para que valores de [tex]m[\/tex] esta equa\u00e7\u00e3o representa uma circunfer\u00eancia.<\/p>\n

(b)<\/strong> Determine o lugar geom\u00e9trico dos centros dessas circunfer\u00eancias.<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade que ajuda<\/p>\n

\nPara resolver este problema \u00e9 preciso utilizar um procedimento alg\u00e9brico conhecido como completamento de quadrado<\/strong>. Esse procedimento responde basicamente \u00e0 seguinte pergunta:<\/p>\n

Se [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real n\u00e3o nulo, qual o valor de [tex]k[\/tex] que devemos somar \u00e0 express\u00e3o [tex]x^2+ax[\/tex] de modo a obter um quadrado perfeito?<\/p>\n

Se voc\u00ea n\u00e3o conhece ou n\u00e3o se lembra desse processo, clique no bot\u00e3o abaixo antes de ler a solu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

\n Completamento de quadrado<\/span><\/a><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o do problema<\/p>\n

\nInicialmente, vamos fazer dois completamentos quadrados na express\u00e3o do enunciado:<\/p>\n

[tex]\\quad x^2 + y^2 – 2mx – 4(m+1)y +3m + 14 = 0[\/tex]
\n[tex]\\quad x^2 + y^2 – 2mx – 4(m+1)y =-3m – 14[\/tex]
\n[tex]\\quad (x-2mx+m^2)+(y-4(m+1)y+4(m+1)^2)=m^2+4(m+1)^2-3m-14[\/tex]
\n[tex]\\quad (x-m)^2+(y-2(m+1))^2=m^2+4(m+1)^2-3m-14[\/tex]
\n[tex]\\quad (x-m)^2+(y-2(m+1))^2=m^2+4(m^2+2m+1)-3m-14[\/tex]
\n[tex]\\quad (x-m)^2+(y-2(m+1))^2=5m^2+5m-10[\/tex]
\n[tex]\\quad (x-m)^2+(y-2(m+1))^2=5(m+2)(m-1). \\qquad \\qquad (i)[\/tex]<\/p>\n

(a)<\/strong> Para que a equa\u00e7\u00e3o [tex](i)[\/tex] corresponda a uma circunfer\u00eancia, devemos ter [tex]5(m+2)(m-1) \\gt 0[\/tex], ou seja, [tex](m+2)[\/tex] e [tex](m-1)[\/tex] ambos negativos ou ambos positivos. Assim,<\/p>\n

    \n
  • [tex]m + 2 \\gt 0\\,[\/tex] e [tex]\\,m – 1 \\gt 0\\,\\,\\,\\Leftrightarrow\\,\\,\\,m \\gt -2\\,[\/tex] e [tex]\\,m \\gt 1\\,\\,\\,\\Leftrightarrow\\,\\,\\,m \\gt 1[\/tex];<\/li>\n<\/ul>\n

    ou<\/p>\n

      \n
    • [tex]m + 2 \\lt 0\\,[\/tex] e [tex]\\,m – 1 \\lt 0\\,\\,\\,\\Leftrightarrow\\,\\,\\,m \\lt -2\\,[\/tex] e [tex]\\,m \\lt 1\\,\\,\\,\\Leftrightarrow\\,\\,\\,m \\lt -2[\/tex];<\/li>\n<\/ul>\n

      e, deste modo, a equa\u00e7\u00e3o fornecida representa uma circunfer\u00eancia se, e somente se, [tex]m \\lt -2[\/tex] ou [tex]m \\gt 1[\/tex].<\/p>\n

      \n

      (b)<\/strong> Para cada [tex]m[\/tex] fixado, o centro da circunfer\u00eancia estar\u00e1 no ponto [tex](m,2(m+1))[\/tex], ou seja, o lugar geom\u00e9trico dos centros \u00e9 a reta [tex]y=2(x+1)[\/tex], sem o segmento que une os pontos [tex](-2,-2)[\/tex] e [tex](1,4)[\/tex] (segmento que seria correspondente a [tex]m\\in[-2,1][\/tex], quando n\u00e3o temos uma circunfer\u00eancia).<\/p>\n

      \n

      Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

      \n

      \n

      Um aplicativo para ajudar…<\/p>\n

      \nO aplicativo mostra uma anima\u00e7\u00e3o com parte do lugar geom\u00e9trico a ser determinado no item (b)<\/strong> do problema.
      \nInstru\u00e7\u00f5es:<\/strong>
      \n1)<\/strong> Aguarde o aplicativo carregar completamente.
      \n2)<\/strong> Clique no \u00edcone ► que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo. Voc\u00ea poder\u00e1 observar os centros de v\u00e1rias das circunfer\u00eancias definidas pela equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2 + y^2 – 2mx – 4(m+1)y +3m + 14 = 0[\/tex]. Essas circunfer\u00eancias ser\u00e3o determinadas a partir de alguns valores de [tex]m[\/tex]; assim, lembre-se de que para valores de [tex]m[\/tex] tais que [tex]m\\in[-2,1][\/tex] a equa\u00e7\u00e3o em quest\u00e3o n\u00e3o define circunfer\u00eancias.
      \n3)<\/strong> Para parar a anima\u00e7\u00e3o, basta clicar no \u00edcone ||<\/strong> que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo durante a anima\u00e7\u00e3o.
      \n4)<\/strong> Para reiniciar a constru\u00e7\u00e3o, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.<\/p>\n

      \n