{"id":69997,"date":"2016-12-21T00:08:00","date_gmt":"2016-12-21T02:08:00","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=69997"},"modified":"2023-04-05T00:12:46","modified_gmt":"2023-04-05T03:12:46","slug":"problemao-brincando-com-numeros-binomiais","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-brincando-com-numeros-binomiais\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Brincando com n\u00fameros binomiais"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nNa expans\u00e3o de [tex](ax + b)^{2000}[\/tex], na qual [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o inteiros positivos e primos relativos entre si, os coeficientes de [tex]x^2[\/tex] e [tex]x^3[\/tex] s\u00e3o iguais.
\nCalcule [tex]a+b[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nPela f\u00f3rmula do bin\u00f4mio de Newton, n\u00f3s temos que, na expans\u00e3o da express\u00e3o [tex](ax + b)^{2000}[\/tex]:
\n•<\/strong><\/span> [tex]\\binom{2000}{2} b^{1998}a^2[\/tex] \u00e9 o coeficiente de [tex]x^2[\/tex];<\/p>\n

\n

•<\/strong><\/span> [tex]\\binom{2000}{3}b^{1997}a^3[\/tex] \u00e9 o coeficiente de [tex]x^3[\/tex]. <\/p>\n

\n

Como esses coeficientes s\u00e3o iguais, temos que [tex]\\binom{2000}{2} b^{1998}a^2 = \\binom{2000}{3}b^{1997}a^3 [\/tex] e, portanto, <\/p>\n

\n

[tex]\\qquad b=\\dfrac{\\binom{2000}{3}}{\\binom{2000}{2}}\\times a=\\bigg(\\dfrac{\\cancel{2000}\\times \\cancel{1999}\\times 1998}{3\\times \\cancel{2}\\times \\cancel{1}}\\bigg)\\times \\bigg(\\dfrac{\\cancel{2}\\times \\cancel{1}}{\\cancel{2000} \\times \\cancel{1999}}\\bigg)\\times a\\\\
\n\\qquad b=\\dfrac{1998}{3}\\times a=666 \\times a\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

A igualdade [tex]b=666 \\times a[\/tex] nos garante que [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]b[\/tex]; mas como [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o inteiros positivos e primos relativos entre si, temos apenas uma op\u00e7\u00e3o: [tex]a=1[\/tex] e [tex]b=666[\/tex].
\nCom isso, [tex]\\boxed{a+b=667}[\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Na expans\u00e3o de [tex](ax + b)^{2000}[\/tex], na qual [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o inteiros positivos e primos relativos entre si, os coeficientes de [tex]x^2[\/tex] e [tex]x^3[\/tex] s\u00e3o iguais. Calcule [tex]a+b[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Pela f\u00f3rmula do bin\u00f4mio de Newton, n\u00f3s temos que, na expans\u00e3o da express\u00e3o [tex](ax + … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":591,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-69997","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/69997","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/591"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=69997"}],"version-history":[{"count":35,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/69997\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186297,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/69997\/revisions\/186297"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=69997"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}