{"id":69890,"date":"2016-12-14T20:44:07","date_gmt":"2016-12-14T22:44:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=69890"},"modified":"2023-04-05T00:15:18","modified_gmt":"2023-04-05T03:15:18","slug":"problema-de-gincana-a-media-de-uma-prova","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-a-media-de-uma-prova\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana: A m\u00e9dia de uma prova"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUm professor elaborou uma prova com cinco quest\u00f5es, cada uma valendo [tex]2[\/tex] pontos.<br \/>\nA soma dos pontos obtidos em cada quest\u00e3o era a nota do aluno na prova e o professor n\u00e3o considerou nenhuma solu\u00e7\u00e3o parcialmente correta.<br \/>\nSabendo que [tex]30\\%[\/tex], [tex]10\\%[\/tex], [tex]60\\%[\/tex], [tex]80\\%[\/tex] e [tex]40\\%[\/tex] s\u00e3o as porcentagens de acerto em cada quest\u00e3o, <strong>determine a m\u00e9dia das notas dos alunos nessa prova<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeja [tex]n[\/tex] o n\u00famero de alunos que fizeram a prova.<br \/>\nA nota m\u00e9dia [tex]N[\/tex] dos alunos \u00e9 calculada por<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad \\qquad N = \\dfrac{0,3 \\cdot n \\cdot 2 + 0,1 \\cdot n \\cdot 2 + 0,6 \\cdot n \\cdot 2 + 0,8 \\cdot n \\cdot 2 + 0,4 \\cdot n \\cdot 2}{n}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad \\qquad N = \\dfrac{4,4n}{n} = 4,4[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g11\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Tentando entender&#8230;<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nA solu\u00e7\u00e3o parece curta; mas, se voc\u00ea n\u00e3o entendeu <strong>de fato<\/strong> o problema, a solu\u00e7\u00e3o apresentada n\u00e3o tem o menor sentido, n\u00e3o \u00e9?<br \/>\nEnt\u00e3o vamos tentar entender como se chega \u00e0 express\u00e3o <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad \\qquad N = \\dfrac{0,3 \\cdot n \\cdot 2 + 0,1 \\cdot n \\cdot 2 + 0,6 \\cdot n \\cdot 2 + 0,8 \\cdot n \\cdot 2 + 0,4 \\cdot n \\cdot 2}{n}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Se voc\u00ea soubesse a nota de cada aluno, certamente voc\u00ea saberia resolver o problema, n\u00e3o \u00e9?<br \/>\nBastaria somar as [tex]n[\/tex] notas e dividir a soma por [tex]n[\/tex]:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex] \\qquad N= \\dfrac{N_1+N_2+ \\cdots +N_n}{n}, \\qquad \\qquad (i)[\/tex] <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>onde [tex] N_1, \\, N_2, \\,  \\cdots , \\, N_n[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, as notas do <strong>aluno 1<\/strong>, <strong>aluno 2<\/strong>, &#8230; , <strong>aluno n<\/strong>.<br \/>\nVamos, ent\u00e3o, calcular as notas de cada aluno; e para isso utilizaremos a nota\u00e7\u00e3o [tex]x_y[\/tex] para indicar a nota que o aluno [tex]x[\/tex] tirou na quest\u00e3o [tex]y[\/tex] (por exemplo, [tex]2_4[\/tex] indica a nota que o aluno [tex]2[\/tex] tirou na quarta prova). Com isso [tex]x=1, \\, 2, \\, 3, \\, \\cdots , \\, n \\, [\/tex] e [tex]y=1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, 5[\/tex].<br \/>\nExplicitando alguns exemplos: <\/p>\n<ul>\n<li>Nota da prova do aluno 1: [tex]N_1= 1_1+1_2+1_3+1_4+1_5[\/tex];<\/li>\n<li>Nota da prova do aluno 2: [tex]N_2= 2_1+2_2+2_3+2_4+2_5[\/tex];<\/li>\n<li>Nota da prova do aluno 3: [tex]N_3= 3_1+3_2+3_3+3_4+3_5[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\vdots[\/tex]<\/li>\n<li>Nota da prova do aluno n: [tex]N_n= n_1+n_2+n_3+n_4+n_5[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, por [tex](i)[\/tex],<br \/>\n<span style=\"font-size:13px;\">[tex]\\;N= \\dfrac{\\left(1_1+1_2+1_3+1_4+1_5\\right)+\\left(2_1+2_2+2_3+2_4+2_5\\right)+ \\cdots +\\left(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5\\right)}{n}[\/tex]<\/span> <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>e, reescrevendo a igualdade de uma maneira diferente, temos que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\;N= \\dfrac{\\left(1_1+2_1+ \\cdots +n_1\\right)+\\left(1_2+2_2+ \\cdots +n_2\\right)+ \\cdots +\\left(1_5+2_5+ \\cdots +n_5\\right)}{n}\\qquad (ii)[\/tex]. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Vamos agora analisar cada um dos cinco par\u00eantesis que comp\u00f5em a soma do numerador da igualdade anterior. Para isso, devemos lembrar que o professor atribui apenas duas pontua\u00e7\u00f5es para cada quest\u00e3o: zero, se a quest\u00e3o estava errada; e dois, se a quest\u00e3o estava correta. Desta maneira, para cada par\u00eantesis, basta sabermos quantos alunos acertaram a respectiva quest\u00e3o e multiplicar esse n\u00famero por [tex]2[\/tex].<br \/>\nMas o enunciado do problema nos fornece esses dados, j\u00e1 que [tex]30\\%[\/tex], [tex]10\\%[\/tex], [tex]60\\%[\/tex], [tex]80\\%[\/tex] e [tex]40\\%[\/tex] s\u00e3o as porcentagens de acerto em cada quest\u00e3o, ent\u00e3o vamos aos c\u00e1lculos:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]30\\%[\/tex] dos alunos acertaram, digamos, a quest\u00e3o 1, ou seja, um total de [tex]\\dfrac{30}{100}n=0,3 \\cdot n[\/tex] alunos.<br \/>\nPortanto, [tex]\\boxed{1_1+2_1+ \\cdots +n_1= 0,3 \\cdot n \\cdot 2}[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]10\\%[\/tex] dos alunos acertaram, digamos, a quest\u00e3o 2, ou seja, um total de [tex]\\dfrac{10}{100}n=0,1 \\cdot n[\/tex] alunos.<br \/>\nPortanto, [tex]\\boxed{1_2+2_2+ \\cdots +n_2= 0,1 \\cdot n \\cdot 2}[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]60\\%[\/tex] dos alunos acertaram, digamos, a quest\u00e3o 3, ou seja, um total de [tex]\\dfrac{60}{100}n=0,6 \\cdot n[\/tex] alunos.<br \/>\nPortanto, [tex]\\boxed{1_3+2_3+ \\cdots +n_3= 0,6 \\cdot n \\cdot 2}[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]80\\%[\/tex] dos alunos acertaram, digamos, a quest\u00e3o 4, ou seja, um total de [tex]\\dfrac{80}{100}n=0,8 \\cdot n[\/tex] alunos.<br \/>\nPortanto, [tex]\\boxed{1_4+2_4+ \\cdots +n_4= 0,8 \\cdot n \\cdot 2}[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]40\\%[\/tex] dos alunos acertaram, digamos, a quest\u00e3o 5, ou seja, um total de [tex]\\dfrac{40}{100}n=0,4 \\cdot n[\/tex] alunos.<br \/>\nPortanto, [tex]\\boxed{1_5+2_5+ \\cdots +n_5= 0,4 \\cdot n \\cdot 2}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Finalmente, por [tex](ii)[\/tex], obtemos<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad \\qquad N = \\dfrac{0,3 \\cdot n \\cdot 2 + 0,1 \\cdot n \\cdot 2 + 0,6 \\cdot n \\cdot 2 + 0,8 \\cdot n \\cdot 2 + 0,4 \\cdot n \\cdot 2}{n}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Para finalizar, observe que  todas as quest\u00f5es valiam 2 pontos, assim independe qual quest\u00e3o teve este ou aquele \u00edndice de acerto.<\/p>\n<p class=\"ti2 c3\"style=\"margin:20px\">Melhorou?<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nPrimeira Gincana de 2016 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel B &#8211; Quest\u00e3o F\u00e1cil\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema Um professor elaborou uma prova com cinco quest\u00f5es, cada uma valendo [tex]2[\/tex] pontos. A soma dos pontos obtidos em cada quest\u00e3o era a nota do aluno na prova e o professor n\u00e3o considerou nenhuma solu\u00e7\u00e3o parcialmente correta. Sabendo que [tex]30\\%[\/tex], [tex]10\\%[\/tex], [tex]60\\%[\/tex], [tex]80\\%[\/tex] e [tex]40\\%[\/tex] s\u00e3o as porcentagens de acerto em cada quest\u00e3o, determine &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-a-media-de-uma-prova\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-69890","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/69890","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=69890"}],"version-history":[{"count":51,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/69890\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186302,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/69890\/revisions\/186302"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=69890"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}