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Problema \n <\/strong><\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n O \u00fanico n\u00famero com as caracter\u00edsticas requeridas \u00e9 [tex]20[\/tex], logo [tex]n = 20[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM 1uik<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Paralelo 38<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Em um armaz\u00e9m, existem seis dep\u00f3sitos com capacidades de [tex]15, 16, 18, 19, 20[\/tex] e [tex]31[\/tex] litros. Um dos dep\u00f3sitos est\u00e1 cheio de nata e os outros est\u00e3o cheios de leite ou de chocolate l\u00edquido. Se o volume de leite \u00e9 o dobro do de … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nEm um armaz\u00e9m, existem seis dep\u00f3sitos com capacidades de [tex]15, 16, 18, 19, 20[\/tex] e [tex]31[\/tex] litros. Um dos dep\u00f3sitos est\u00e1 cheio de nata e os outros est\u00e3o cheios de leite ou de chocolate l\u00edquido.
\nSe o volume de leite \u00e9 o dobro do de chocolate l\u00edquido, qual a soma dos volumes de chocolate l\u00edquido e de nata existentes no armaz\u00e9m?
\n<\/strong><\/p>\n
\nSeja [tex]S[\/tex] a soma da capacidade, em litros, de cada dep\u00f3sito. Ent\u00e3o, [tex]S = 15+16+18+19+20+31 = 119[\/tex].
\nSejam [tex]n, \\, l \\, [\/tex] e [tex] \\, c \\, [\/tex] as quantidades, em litros, de nata, leite e chocolate, respectivamente.
\nSabe-se que [tex]n\\in \\{15, 16, 18, 19, 20, 31\\}[\/tex], pois a nata ocupa somente um dep\u00f3sito.
\nAl\u00e9m disso,
\n[tex]\\qquad \\begin{cases} l+c = 119-n\\\\ l = 2c\\end{cases}[\/tex]
\ne, portanto,
\n[tex]\\qquad 3c = 119-n[\/tex].
\nComo [tex]c[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, conclui-se que [tex]119-n[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex].
\nTamb\u00e9m, temos que:
\n[tex]\\qquad 119-n = 3c[\/tex]
\n[tex]\\qquad (117+2)-n = 3c[\/tex]
\n[tex]\\qquad 3\\cdot 39+2-n = 3c[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2-n = 3 \\left(c-39\\right)[\/tex].
\ne, com isso, podemos perceber que [tex]2-n[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex].
\nDessa forma, existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] tal que [tex]n-2 = 3k[\/tex] e, ent\u00e3o,
\n[tex]\\qquad n= 3k+2[\/tex],
\nou seja, [tex]n[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex] somado com [tex]2[\/tex]<\/strong>.
\nAssim, dentre os n\u00fameros [tex]15, 16, 18, 19, 20[\/tex], quais s\u00e3o aqueles que, ao subtrairmos [tex]2[\/tex],obtemos um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex]?
\nVejamos:<\/p>\n\n
\nAssim,
\n[tex]\\quad c = \\dfrac{119-20}{3} = 33[\/tex]
\ne, portanto, [tex]n+c = 20+33 = 53[\/tex].<\/p>\n
\n
\nConsiderando:
\n[tex]l =[\/tex] volume de leite
\n[tex]n =[\/tex] volume de nata
\n[tex]c =[\/tex] volume de chocolate l\u00edquido
\nSabemos que o volume de leite \u00e9 o dobro do de chocolate l\u00edquido. Podemos representar esta informa\u00e7\u00e3o da seguinte maneira:
\n[tex]l = 2c[\/tex]
\nSomando a capacidade de todos os recipientes, ou seja, [tex]15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31[\/tex], obtemos o n\u00famero [tex]119[\/tex].
\nDeste modo podemos perceber que a soma do volume de leite mais o volume de chocolate \u00e9 igual a [tex]119 – n[\/tex]. Podemos representar isto deste modo:
\n[tex]l + c = 119 – n[\/tex]
\nou ainda:
\n[tex]2c + c = 119 – n[\/tex]
\n[tex]3c = 119 – n[\/tex]
\nCom isso podemos perceber que a soma do volume de leite mais o volume de chocolate l\u00edquido s\u00f3 pode ser um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex]. Como sabemos, [tex]n[\/tex] representa apenas um recipiente, e o \u00fanico recipiente que quando subtra\u00eddo de [tex]119[\/tex] resulta num m\u00faltiplo de tr\u00eas \u00e9 o com capacidade de [tex]20[\/tex] litros. Observe:
\n[tex]119 – 15 = 104[\/tex]
\n[tex]119 – 16 = 103[\/tex]
\n[tex]119 – 18 = 101[\/tex]
\n[tex]119 – 19 = 100[\/tex]
\n[tex]119 – 20 = 99[\/tex]
\n[tex]119 – 31 = 88[\/tex]
\nSabendo que [tex]n = 20[\/tex], podemos continuar nossa conta:
\n[tex]3c = 119 – 20[\/tex]
\n[tex]3c = 99[\/tex]
\n[tex]c = \\dfrac{99}{3}[\/tex]
\n[tex]c = 33[\/tex]
\nPodemos ver que [tex]c[\/tex] \u00e9 igual a [tex]33[\/tex], o que nos leva tamb\u00e9m ao valor de [tex]l[\/tex]: se [tex]l[\/tex] \u00e9 igual a [tex]2c[\/tex], logo o volume de leite \u00e9 igual a [tex]2\\cdot33= 66.[\/tex]
\nSe [tex]n = 20[\/tex] e [tex]c = 33[\/tex], logo o volume de nata mais o volume de chocolate l\u00edquido \u00e9 igual a [tex]20 + 33 = 53.[\/tex]<\/p>\n
\n
\nSe o volume de leite \u00e9 o dobro do de chocolate l\u00edquido, ao somar o volume de leite e o de chocolate l\u00edquido deve-se obter um valor que seja m\u00faltiplo de 3.
\nAssim, o recipiente cheio de nata deve ter um volume que deixe mesmo resto que a soma dos volumes de todos os recipientes quando divididos por 3.
\nComo 119 e 20 s\u00e3o congruentes m\u00f3dulo 3, ent\u00e3o o recipiente de 20 L cont\u00e9m nata.
\nO volume de chocolate l\u00edquido \u00e9 (119-20)\/3=33 litros.
\nA saber, os recipientes que cont\u00eam chocolate l\u00edquido s\u00e3o os de 15 e 18 L.
\nLogo a soma dos volumes de chocolate l\u00edquido e de nata \u00e9 33 + 20 = 53 L.<\/p>\n
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