\n
Problema Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero feliz. \n <\/strong><\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n (b)<\/strong> Se [tex]n=a^2+b^2[\/tex], com [tex]a, \\, b \\in \\mathbb{Z}[\/tex], como [tex]5=2^2+1^2[\/tex], temos que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Uma generaliza\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n [tex]\\qquad \\begin{align*} mn & =(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\\\& =a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 \\\\& =a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2 \\\\& =(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.\\end{align*}[\/tex] \n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Dizemos que um n\u00famero inteiro positivo [tex]n[\/tex] \u00e9 feliz se [tex]n=a^2+b^2[\/tex], com [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] inteiros. Por exemplo: [tex]10[\/tex] \u00e9 feliz, pois [tex]10=3^2+1^2[\/tex]; [tex]9[\/tex] \u00e9 feliz, pois [tex]9=0^2+3^2[\/tex]. Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero feliz. (a) Mostre que o n\u00famero [tex]2n[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 feliz. (b) Mostre que … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nDizemos que um n\u00famero inteiro positivo [tex]n[\/tex] \u00e9 feliz <\/strong> se [tex]n=a^2+b^2[\/tex], com [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] inteiros.
\nPor exemplo: <\/p>\n\n
\n(a)<\/strong> Mostre que o n\u00famero [tex]2n[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 feliz.
\n(b)<\/strong> Mostre que o n\u00famero [tex]5n[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 feliz.<\/p>\n
\nSeja [tex]n[\/tex] um n\u00famero feliz.
\n(a)<\/strong> Se [tex]n=a^2+b^2[\/tex], com [tex]a, \\, b \\in \\mathbb{Z}[\/tex], ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad 2n=2a^2+2b^2=(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2.[\/tex]
\nComo [tex] 2n=(a+b)^2+(a-b)^2[\/tex], com [tex]a+b, \\, a-b \\in \\mathbb{Z}[\/tex], segue que [tex]2n[\/tex] \u00e9 feliz.<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\begin{align*} 5n & =(2^2+1^2)(a^2+b^2)
\n\\\\&= (2a)^2+a^2+(2b)^2+b^2
\n\\\\&=(2a)^2+b^2+(2b)^2+a^2
\n\\\\&=(2a)^2-4ab+b^2+(2b)^2+4ab+a^2
\n\\\\&= (2a-b)^2+(a+2b)^2.\\end{align*}[\/tex]
\nAssim, [tex] 5n=(2a-b)^2+(a+2b)^2[\/tex], com [tex]2a-b, \\, a+2b \\in \\mathbb{Z}[\/tex], o que garante que [tex]5n[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 feliz.<\/p>\n
\n
\nMostraremos de modo geral que o produto de dois n\u00fameros felizes tamb\u00e9m \u00e9 um n\u00famero feliz<\/strong>.
\nDe fato, se [tex]n=a^2+b^2 \\, [\/tex] e [tex] \\, m=c^2+d^2[\/tex], com [tex]a, \\, b, \\, c, \\, d \\in \\mathbb{Z}[\/tex], ent\u00e3o:<\/p>\n
\nAssim, [tex]mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2[\/tex], com [tex](ac-bd),(ad+bc) \\, \\in \\mathbb{Z}[\/tex].
\nPortanto, o produto de dois n\u00fameros felizes \u00e9 um n\u00famero feliz. <\/p>\n