\n
Problema \n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{ccc}& X & T \\\\ \n Calcule [tex]Z[\/tex]. \n <\/strong><\/div>\n \n Uma propriedade que ajuda<\/p>\n Sejam [tex]a, \\, b, \\, p \\in \\mathbb{N}[\/tex]. Em palavras, <\/p>\n Se um n\u00famero primo divide um produto, ent\u00e3o esse primo divide, necessariamente, um dos fatores do produto.<\/p>\n ou, ainda, <\/p>\n Um divisor primo de um produto \u00e9, necessariamente, divisor de um dos fatores desse produto.\n<\/div>\n \n \u00c9 absolutamente essencial que, na aplica\u00e7\u00e3o dessa propriedade, tenhamos um divisor primo, caso contr\u00e1rio a propriedade pode n\u00e3o funcionar:<\/p>\n \n <\/strong><\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n Pelo exposto, a \u00fanica solu\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]\\boxed{Z=9}[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n \n[tex]74\\cdot14 = 1 036[\/tex]; Portanto s\u00f3 nos resta [tex]37[\/tex], vamos supor que ele seja [tex]XT[\/tex]. Com esta informa\u00e7\u00e3o chegamos a conclus\u00e3o que [tex]T[\/tex] \u00e9 igual a [tex]7[\/tex]. \n[tex]27\\div3 = 9[\/tex]; Como [tex]Z[\/tex] representa apenas [tex]1[\/tex] algarismo, chegamos \u00e0 conclus\u00e3o de que ele corresponde ao n\u00famero [tex]9[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM 1uik<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Na multiplica\u00e7\u00e3o abaixo, o n\u00famero de dois algarismos [tex]XT[\/tex] foi multiplicado por outro n\u00famero de dois algarismos [tex]YT[\/tex], resultando em um n\u00famero com tr\u00eas algarismos iguais, [tex]ZZZ[\/tex]. ([tex]X, Y, Z, T[\/tex] s\u00e3o algarismos distintos). [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{ccc}& X & T \\\\ \\times& Y & T\\\\ … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nNa multiplica\u00e7\u00e3o abaixo, o n\u00famero de dois algarismos [tex]XT[\/tex] foi multiplicado por outro n\u00famero de dois algarismos [tex]YT[\/tex], resultando em um n\u00famero com tr\u00eas algarismos iguais, [tex]ZZZ[\/tex]. ([tex]X, Y, Z, T[\/tex] s\u00e3o algarismos distintos).<\/p>\n
\n\\times& Y & T\\\\ \\hline
\nZ&Z&Z\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n<\/strong><\/p>\n
\n
\nSe [tex]\\boxed{p \\mid a\\cdot b} \\, [\/tex] e [tex] \\, p[\/tex] \u00e9 primo, ent\u00e3o [tex]\\boxed{p \\mid a}[\/tex] ou [tex]\\boxed{p \\mid b}[\/tex].<\/p>\n\n
\nO ponto de partida \u00e9 observar que
\n[tex]\\qquad XT \\, \\times \\, YT=ZZZ=111\\times Z = 3\\times 37\\times Z[\/tex].
\nAssim, como “[tex]3 \\, [\/tex] e [tex] \\, 37[\/tex] s\u00e3o primos” e “[tex]3 \\, [\/tex] e [tex] \\, 37[\/tex] s\u00e3o divisores de [tex]XT \\, \\times \\, YT[\/tex]”, ent\u00e3o, pela propriedade acima, um dos n\u00fameros [tex]XT[\/tex] ou [tex]YT[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]37[\/tex] e, o outro, por [tex]3[\/tex].
\nSuponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]XT[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]37[\/tex] e [tex]YT[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]3[\/tex].
\nComo [tex]XT[\/tex] tem dois algarismos, temos somente duas possibilidades: [tex]XT=37[\/tex] ou [tex]XT=74[\/tex].<\/p>\n\n
\nNeste caso, obtemos [tex]37\\times27=999 \\, [\/tex] e [tex] \\, \\boxed{Z=9}[\/tex].<\/li>\n
\n
\nSabemos que [tex]ZZZ = 111\\cdot{Z} = 3\\cdot37\\cdot{Z}[\/tex].
\nObservando esta conta podemos ver que [tex]XT[\/tex] ou [tex]YT[\/tex] s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]37[\/tex], o que quer dizer que um deles \u00e9 [tex]37[\/tex] ou [tex]74[\/tex] (pois o pr\u00f3ximo m\u00faltiplo de [tex]37[\/tex] \u00e9 [tex]111[\/tex], passando de dois algarismos).
\nMas logo podemos descartar [tex]74[\/tex], pois se [tex]74[\/tex] for [tex]XT[\/tex] ou [tex]YT[\/tex], o outro n\u00famero que restar([tex]YT[\/tex] ou [tex]XT[\/tex], respectivamente) ter\u00e1 que terminar em [tex]4[\/tex]; mas n\u00e3o h\u00e1 qualquer n\u00famero de dois algarismos com final [tex]4[\/tex] que atenda aos crit\u00e9rios pedidos na quest\u00e3o. Veja:<\/p>\n
\n[tex]74\\cdot24 = 1 776[\/tex];
\n[tex]74\\cdot34 = 2 516[\/tex];
\n[tex]74\\cdot44 = 3 256[\/tex];
\n[tex]74\\cdot54 = 3 996[\/tex];
\n[tex]74\\cdot64 = 4 736[\/tex];
\n[tex]74\\cdot74[\/tex] – N\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel de qualquer forma, pois [tex]XT[\/tex] \u00e9 diferente de [tex]YT[\/tex];
\n[tex]74\\cdot84 = 6 216[\/tex];
\n[tex]74\\cdot94 = 6 956[\/tex].<\/p>\n
\nObservando a igualdade [tex]ZZZ = 37\\cdot3\\cdot{Z}[\/tex] podemos ver que [tex]YT[\/tex] s\u00f3 pode ser [tex]3\\cdot{Z}[\/tex]. Assim, podemos listar todos os n\u00fameros de dois algarismos m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] que terminam em [tex]7[\/tex]: [tex]27[\/tex], [tex]57[\/tex] e [tex]87[\/tex].
\nSe dividirmos todos estes n\u00fameros por [tex]3[\/tex], podemos ver qual n\u00famero seria [tex]Z[\/tex] em cada uma das hip\u00f3teses:<\/p>\n
\n[tex]57\\div3 = 19[\/tex];
\n[tex]87\\div3 = 29[\/tex].<\/p>\n
\nPodemos checar fazendo a conta: [tex] \\boxed{37\\cdot27 = 999}[\/tex].<\/p>\n
\n