{"id":69368,"date":"2016-12-06T00:45:25","date_gmt":"2016-12-06T02:45:25","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=69368"},"modified":"2023-04-05T00:02:46","modified_gmt":"2023-04-05T03:02:46","slug":"desafio-poligono-equilatero-no-circulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-poligono-equilatero-no-circulo\/","title":{"rendered":".Desafio: Pol\u00edgono equil\u00e1tero no c\u00edrculo"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nUm pol\u00edgono convexo com [tex]k[\/tex] lados de mesma medida est\u00e1 inteiramente contido no interior de um c\u00edrculo.
\nCada lado \u00e9 prolongado em ambos os sentidos, at\u00e9 a interse\u00e7\u00e3o com o c\u00edrculo, formando dois novos segmentos de reta fora do pol\u00edgono.
\nProve que \u00e9 poss\u00edvel pintar alguns desses novos [tex]2k[\/tex] segmentos de azul e o restante de vermelho, de modo que a soma dos comprimentos dos segmentos azuis seja igual \u00e0 soma dos comprimentos dos segmentos vermelhos.<\/p>\n

\n

<\/strong><\/div>\n

\n

\n

Uma figura para ajudar<\/p>\n

\nA figura abaixo ilustra um pol\u00edgono com [tex]k=5[\/tex], o c\u00edrculo e os segmentos previstos no enunciado do problema.<\/p>\n

\"paulo1\"<\/p>\n

Observe que o pol\u00edgono n\u00e3o precisa ser regular, mas deve ter todos os lados de mesma medida, isto \u00e9, deve ser equil\u00e1tero<\/strong>.<\/p>\n

\n

<\/strong><\/div>\n

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Um resultado que ajuda<\/p>\n

\n
Teorema das cordas (Pot\u00eancia de ponto):<\/strong> Se duas cordas de uma mesma circunfer\u00eancia se intersectam, ent\u00e3o o produto das medidas das duas partes de uma \u00e9 igual ao produto das medidas das duas partes da outra.<\/div>\n\n\n
\n

\"Paulo3\"\n<\/td>\n

\n[tex]\\boxed{AP \\cdot PB=CP \\cdot PD}[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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<\/strong><\/div>\n

\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nConsidere um pol\u00edgono regular com [tex]k[\/tex] lados e seja [tex]x[\/tex] a medida de cada lado.
\nAplicando o teorema das cordas para cada v\u00e9rtice [tex]P_i[\/tex], com [tex]1 \\leqslant i \\leqslant k[\/tex], e considerando que os segmentos \u00e0 esquerda e \u00e0 direita do lado que cont\u00e9m [tex]P_i[\/tex] t\u00eam comprimentos [tex]a_i[\/tex] e [tex]v_i[\/tex], respectivamente, obtemos:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\begin{align*}
\na_1(x + v_1) &= v_k(a_k + x);\\\\
\na_2(x + v_2) &= v_1(a_1 + x);\\\\
\na_3(x + v_3) &= v_2(a_2 + x);\\\\
\n\\vdots\\\\
\na_k(x + v_k) &= v_{k-1}(a_{k-1} + x).
\n\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n

\n

\"paulo7\"<\/p>\n

\n

Somando essas [tex]k[\/tex] equa\u00e7\u00f5es e cancelando os termos iguais, obtemos que:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{a_1 + a_2+\\dots+ a_k = v_1 + v_2 +\\dots + v_k}[\/tex] .<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Um pol\u00edgono convexo com [tex]k[\/tex] lados de mesma medida est\u00e1 inteiramente contido no interior de um c\u00edrculo. Cada lado \u00e9 prolongado em ambos os sentidos, at\u00e9 a interse\u00e7\u00e3o com o c\u00edrculo, formando dois novos segmentos de reta fora do pol\u00edgono. Prove que \u00e9 poss\u00edvel pintar … <\/p>\n

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