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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Incr\u00edvel, n\u00e3o? Vamos escrever [tex]N=a\\,\\,(a+1)\\,\\,\\cdots(a+k-1)\\,\\,(a+k)[\/tex] (Isso n\u00e3o \u00e9 um produto, \u00e9 apenas uma sequ\u00eancia de algarismos! Observe, por exemplo, que escrevemos [tex]12[\/tex], n\u00e3o [tex]1\\times2[\/tex]). Logo, Vamos conferir a igualdade (*) com os exemplos que j\u00e1 realizamos. <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Cada algarismo do n\u00famero [tex]N[\/tex], a partir do segundo, \u00e9 uma unidade maior que o algarismo anterior. Qual \u00e9 a soma dos algarismos de [tex]9\\times N \\, [\/tex]? Solu\u00e7\u00e3o Vamos testar alguns exemplos. Seja [tex]S[\/tex] a soma dos algarismos de [tex]9\\times N[\/tex]. O primeiro exemplo … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n Cada algarismo do n\u00famero [tex]N[\/tex], a partir do segundo, \u00e9 uma unidade maior que o algarismo anterior.
\nQual \u00e9 a soma dos algarismos de [tex]9\\times N \\, [\/tex]?<\/p>\n
\nVamos testar alguns exemplos. Seja [tex]S[\/tex] a soma dos algarismos de [tex]9\\times N[\/tex]. <\/p>\n\n
\nMas como podemos provar que [tex]S=9[\/tex] n\u00e3o \u00e9 somente uma coincid\u00eancia, mas um fato v\u00e1lido para qualquer [tex]N[\/tex] nas condi\u00e7\u00f5es dadas?
\nVejamos.
\nVamos chamar de [tex]a[\/tex] o primeiro algarismo de [tex]N[\/tex], sendo [tex]a+k[\/tex] o \u00faltimo. Note que, ent\u00e3o, [tex]N[\/tex] ter\u00e1 [tex]k+1[\/tex] algarismos. Al\u00e9m disso, como [tex]a+k[\/tex] \u00e9 um algarismo, temos [tex]a+k\\le 9[\/tex].<\/p>\n\n
\nBom, note que [tex]9\\times N=10\\times N-N[\/tex]. Al\u00e9m disso, [tex]10\\times N=a\\,\\,(a+1)\\,\\,\\cdots(a+k-1)\\,\\,(a+k)\\,\\,\\,0[\/tex].
\n\u00c9 poss\u00edvel “armar” a subtra\u00e7\u00e3o [tex]10\\times N-N=9\\times N[\/tex]:<\/p>\n\n
\n [tex] – [\/tex]<\/td>\n [tex]10 \\times N[\/tex]<\/td>\n [tex] – [\/tex]<\/td>\n [tex] [\/tex]<\/td>\n [tex]a[\/tex]<\/td>\n [tex](a+1)[\/tex]<\/td>\n [tex]\\cdots[\/tex]<\/td>\n [tex](a+k-1)[\/tex] <\/td>\n [tex]\\stackrel{a+k-1}{\\cancel{(a+k)}}[\/tex]<\/td>\n [tex] ^{1}0[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/tr>\n [tex][\/tex]<\/td>\n [tex]N[\/tex] <\/td>\n [tex][\/tex]<\/td>\n [tex] [\/tex]<\/td>\n [tex] [\/tex]<\/td>\n [tex]a[\/tex]<\/td>\n [tex]\\cdots[\/tex]<\/td>\n [tex](a+k-2)[\/tex] <\/td>\n [tex](a+k-1)[\/tex]<\/td>\n [tex](a+k)[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n \n [tex] [\/tex] <\/td>\n [tex]9\\times N[\/tex]<\/td>\n [tex][\/tex]<\/td>\n [tex] [\/tex]<\/td>\n [tex]a[\/tex]<\/td>\n [tex]1[\/tex]<\/td>\n [tex]\\cdots[\/tex]<\/td>\n [tex]1[\/tex] <\/td>\n [tex]0[\/tex]<\/td>\n [tex](10-a-k)[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{9\\times N= a\\underbrace{1\\cdots1}_{(k-1)\\,algarismos \\ 1}0\\,(10-a-k)}\\qquad \\qquad(*)[\/tex]
\n e a soma de seus algarismos \u00e9
\n[tex]\\qquad \\qquad S=a+(k-1)\\times1+0+(10-a-k)\\\\
\n\\qquad \\qquad S=a+k-1+10-a-k=10-1\\\\
\n\\qquad \\qquad S=\\fbox{$9$}[\/tex].<\/p>\n\n
\nLogo, [tex]9\\times N=9\\times 12=a\\underbrace{1\\cdots1}_{0\\,algarismos \\ 1}0\\,(10-a-k)=1\\,0\\,(10-1-1)=108[\/tex].<\/li>\n
\nLogo, [tex]9\\times N=9\\times 234=a\\underbrace{1\\cdots1}_{1\\,algarismo \\ 1}0\\,(10-a-k)=2\\,1\\,0\\,(10-2-2)=2106[\/tex].<\/li>\n
\nLogo, [tex]9\\times N=9\\times 34567=a\\underbrace{1\\cdots1}_{3\\,algarismos \\ 1}0\\,(10-a-k)=3\\,1\\,1\\,1\\,0\\,(10-7)=311103.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\n