\n
Problema \n <\/strong><\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n Lembre que a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo \u00e9 metade do produto da medida de um lado qualquer pela medida da altura do tri\u00e2ngulo relativa a esse lado, logo Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n [tex]\\qquad h_a[\/tex] ( altura relativa ao lado [tex]a[\/tex]); Obtemos a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo ( podemos chamar o resultado de “[tex]x[\/tex]”) com os seguintes c\u00e1lculos:<\/p>\n [tex]\\qquad \\dfrac{a\\cdot{h_a}}{2} = x[\/tex]<\/p>\n [tex]\\qquad \\dfrac{b\\cdot{h_b}}{2} = x[\/tex]<\/p>\n [tex]\\qquad \\dfrac{c\\cdot{h_c}}{2} = x[\/tex]<\/p>\n Logo, percebemos que para que os tr\u00eas c\u00e1lculos deem o mesmo resultado \u00e9 necess\u00e1rio que o maior lado tenha a menor altura e vice-versa para que seja mantido um equil\u00edbrio e os tr\u00eas resultados sejam iguais.<\/p>\n \n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM 1uik<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.) Mostre que, num tri\u00e2ngulo escaleno, a altura relativa ao maior lado \u00e9 a menor das alturas. Solu\u00e7\u00e3o 1 Considere um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], tal que: [tex]a \\lt b \\lt c[\/tex] s\u00e3o as medidas dos lados opostos a [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex], respectivamente. [tex]h_a[\/tex], [tex]h_b[\/tex] e [tex]h_c[\/tex] … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nMostre que, num tri\u00e2ngulo escaleno, a altura relativa ao maior lado \u00e9 a menor das alturas.<\/p>\n
\nConsidere um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], tal que:<\/p>\n\n
\n[tex] \\qquad \\dfrac{a \\cdot h_a}{2} = \\dfrac{b \\cdot h_b}{2} = \\dfrac{c \\cdot h_c}{2}[\/tex]
\ndonde
\n[tex]\\qquad a \\cdot h_a = b \\cdot h_b = c \\cdot h_c.\\qquad \\qquad (I)[\/tex]
\nUsaremos tamb\u00e9m o fato de que numa desigualdade entre n\u00fameros reais, se multiplicamos ambos os membros por um n\u00famero positivo a desigualdade continua v\u00e1lida. [tex]\\qquad \\qquad (II)[\/tex]
\nAssim,
\n[tex]\\qquad b \\lt c \\stackrel{(II)}{ \\, \\Leftrightarrow \\, } b \\cdot \\dfrac{h_b}{c} \\lt c \\cdot \\dfrac{h_b}{c}\\Leftrightarrow \\dfrac{b \\cdot h_b}{c} \\lt h_b[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\stackrel{(I)}{ \\, \\Leftrightarrow \\, } \\dfrac{c \\cdot h_c}{c} \\lt h_b \\Leftrightarrow \\boxed{ h_c \\lt h_b}[\/tex]
\nDe modo an\u00e1logo mostramos que [tex]\\boxed{h_c \\lt h_a}[\/tex], provando que [tex]h_c[\/tex] \u00e9 a menor das alturas do tri\u00e2ngulo em quest\u00e3o.<\/p>\n
\n
\nConsiderando os lados de um tri\u00e2ngulo escaleno qualquer como [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] sendo [tex]a > b > c[\/tex], e as alturas do triangulo como:<\/p>\n
\n[tex]\\qquad h_b[\/tex] ( altura relativa ao lado [tex]b[\/tex]);
\n[tex]\\qquad h_c[\/tex] ( altura relativa ao lado [tex]c[\/tex]);<\/p>\n
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