{"id":66824,"date":"2016-09-17T22:00:35","date_gmt":"2016-09-18T01:00:35","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=66824"},"modified":"2023-04-04T03:26:39","modified_gmt":"2023-04-04T06:26:39","slug":"problemao-cone-e-hemisferio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-cone-e-hemisferio\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o:  Cone e Hemisf\u00e9rio"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nTomando o c\u00edrculo m\u00e1ximo de um hemisf\u00e9rio de raio [tex]R[\/tex] como base, constr\u00f3i-se um cone reto de mesmo volume que o hemisf\u00e9rio. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Cone-esfera.png\" alt=\"Cone-esfera\" width=\"348\" height=\"379\" style=\"border:none;\" class=\"aligncenter size-full wp-image-66825\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Cone-esfera.png 348w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Cone-esfera-275x300.png 275w\" sizes=\"auto, (max-width: 348px) 100vw, 348px\" \/><\/p>\n<p>Determine o raio da circunfer\u00eancia produzida pela interse\u00e7\u00e3o da superf\u00edcie lateral do cone com a superf\u00edcie n\u00e3o plana do hemisf\u00e9rio, em fun\u00e7\u00e3o de [tex]R[\/tex].<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 35px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSejam [tex]h[\/tex] e [tex]r[\/tex] a altura do cone e o raio procurado, respectivamente.<br \/>\nComo o volume do cone \u00e9 igual ao do hemisf\u00e9rio, temos<br \/>\n[tex]\\qquad \\dfrac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot R^2 \\cdot h = \\dfrac{2}{3} \\cdot \\pi \\cdot R^3[\/tex],<br \/>\nou seja,<br \/>\n[tex]\\qquad h = 2R[\/tex].<br \/>\nNa figura abaixo, indicando a medida de [tex]D\\hat{J}F[\/tex] por  [tex]x[\/tex], perceba que<\/p>\n<ul>\n<li> a medida de [tex]J\\hat{F}D[\/tex] \u00e9  [tex] 90^{\\circ} &#8211; x[\/tex];<\/li>\n<li>o tri\u00e2ngulo [tex]DFH[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles, logo, [tex]F\\hat{H}D = 90^{\\circ} &#8211; x[\/tex];<\/li>\n<li> [tex]F\\hat{D}H = 2x[\/tex] e<\/li>\n<li> [tex]K\\hat{H}D = 2x[\/tex],  por paralelismo.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Cone-esfera1.png\" style=\"border:none;\"  alt=\"Cone-esfera1\" width=\"451\" height=\"408\" class=\"aligncenter size-full wp-image-66828\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Cone-esfera1.png 451w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Cone-esfera1-300x271.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 451px) 100vw, 451px\" \/><\/p>\n<p>Aplicando o teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo [tex]JDF[\/tex] e lembrando que [tex]h = 2R[\/tex], obtemos que  [tex]JF = R\\sqrt{5}[\/tex].<br \/>\nTamb\u00e9m a partir desse tri\u00e2ngulo, calculamos [tex]sen(x) = \\dfrac{1}{\\sqrt{5}} \\, [\/tex] e [tex] \\, cos(x) = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}[\/tex].<br \/>\nEnt\u00e3o, da rela\u00e7\u00e3o do cosseno do arco duplo segue que<br \/>\n[tex]\\qquad cos(2x) = cos^2(x) &#8211; sen^2(x) = \\dfrac{4}{5} &#8211; \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{3}{5}[\/tex].<br \/>\nFinalmente, observando o tri\u00e2ngulo [tex]HDK[\/tex], temos<br \/>\n[tex]\\qquad cos(2x) = \\dfrac{r}{R}[\/tex]<br \/>\ne, assim,<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{r = \\dfrac{3}{5}R}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Tomando o c\u00edrculo m\u00e1ximo de um hemisf\u00e9rio de raio [tex]R[\/tex] como base, constr\u00f3i-se um cone reto de mesmo volume que o hemisf\u00e9rio. Determine o raio da circunfer\u00eancia produzida pela interse\u00e7\u00e3o da superf\u00edcie lateral do cone com a superf\u00edcie n\u00e3o plana do hemisf\u00e9rio, em fun\u00e7\u00e3o de &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-cone-e-hemisferio\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-66824","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/66824","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=66824"}],"version-history":[{"count":25,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/66824\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186174,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/66824\/revisions\/186174"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=66824"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}