{"id":66797,"date":"2016-09-17T14:29:40","date_gmt":"2016-09-17T17:29:40","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=66797"},"modified":"2023-04-04T03:27:46","modified_gmt":"2023-04-04T06:27:46","slug":"problema-soma-de-parcelas-desconhecidas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-soma-de-parcelas-desconhecidas\/","title":{"rendered":".Problema:  Soma de parcelas desconhecidas"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nCalcule a soma das medidas dos \u00e2ngulos destacados na figura.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Soma-de-parcelas-desconhecidas.png\" alt=\"Soma de parcelas desconhecidas\" width=\"415\" height=\"356\" style=\"border:0px;\" class=\"aligncenter size-full wp-image-66800\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Soma-de-parcelas-desconhecidas.png 554w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Soma-de-parcelas-desconhecidas-300x257.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 415px) 100vw, 415px\" \/><br \/>\n<\/strong><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Soma-2-de-parcelas.png\" alt=\"Soma 2 de parcelas\" width=\"559\" height=\"457\" style=\"border:0px;\"  class=\"aligncenter size-full wp-image-66801\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Soma-2-de-parcelas.png 559w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Soma-2-de-parcelas-300x245.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 559px) 100vw, 559px\" \/><br \/>\nDestacamos em vermelho e azul os \u00e2ngulos internos e externos do pol\u00edgono <strong>HIJKLMN<\/strong>, respectivamente.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/soma3-de-parcela.png\" style=\"border:0px;\" alt=\"soma3 de parcela\" width=\"287\" height=\"138\" class=\"alignright size-full wp-image-66802\" \/>  Al\u00e9m disso, cada \u00e2ngulo vermelho \u00e9 a soma de um \u00e2ngulo azul e verde, por ser \u00e2ngulo externo de tri\u00e2ngulo em que os \u00e2ngulos internos n\u00e3o adjacentes s\u00e3o um \u00e2ngulo verde e um azul. Assim, ao somarmos todos os \u00e2ngulos vermelhos, acabaremos por somar todos os \u00e2ngulos verdes e azuis.<br \/>\nIndicando por [tex]S_r[\/tex] a soma das medidas dos \u00e2ngulos vermelhos; [tex]S_v[\/tex] a soma das medidas dos \u00e2ngulos verdes e [tex]S_a[\/tex] a soma das medidas dos \u00e2ngulos azuis, temos que [tex]\\boxed{S_r = S_v + S_a} \\,  \\,  \\,  \\,  \\, (i)[\/tex]. Ent\u00e3o, se queremos [tex]S_v[\/tex], temos que obter [tex]S_a[\/tex] e [tex]S_r[\/tex], vamos l\u00e1.<\/p>\n<ul>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/soma4-de.png\" alt=\"soma4 de\" width=\"180\" height=\"142\" class=\"alignright size-full wp-image-66805\" \/>Fixado um  dos v\u00e9rtices de um hept\u00e1gono convexo, como o [tex]HIJKLMN[\/tex], podemos obter [tex]7-2=5[\/tex] tri\u00e2ngulos com v\u00e9rtices no v\u00e9rtice fixado e em outros dois v\u00e9rtices do hept\u00e1gono. Observe que ao somar as medidas dos \u00e2ngulos internos de cada um desses cinco tri\u00e2ngulos obtemos a soma dos \u00e2ngulos internos do hept\u00e1gono inicial. Assim, lembrando que a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex], temos que a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um hept\u00e1gono \u00e9 [tex]5\\times 180^{\\circ}[\/tex], isto \u00e9, [tex]900^{\\circ}[\/tex].<br \/>\nAssim, em particular, [tex]\\boxed{S_r=900^{\\circ}} \\,  \\,  \\,  \\,  \\, (ii)[\/tex].<\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/soma5-de.png\" alt=\"soma5 de\" width=\"300\" height=\"190\" class=\"alignright size-full wp-image-66807\" \/>\t<\/p>\n<li>Observe que cada \u00e2ngulo azul \u00e9 suplementar de um, e somente um, dos vermelhos. Como temos sete pares de \u00e2ngulos azuis e seus suplementares, ent\u00e3o [tex]S_a+S_r=7\\times 180^{\\circ}[\/tex].<br \/>\nMas [tex]S_r=900^{\\circ}[\/tex], assim [tex]S_a=1260^{\\circ}-900^{\\circ}[\/tex].<br \/>\nPortanto [tex]\\boxed{S_a=360^{\\circ}} \\,  \\,  \\,  \\,  \\, (iii)[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Finalizando, por[tex](i), \\, (ii), \\, (iii)[\/tex] temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad S_v= S_r-S_a[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_v= 900^{\\circ}-360^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{S_v = 540^{\\circ}}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:23px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nO hept\u00e1gono [tex]HIJKLMN[\/tex] da figura acima possui [tex]900^o[\/tex] na soma de seus \u00e2ngulos internos. Chamemos seus \u00e2ngulos internos de [tex]h, i, j,k,l,m[\/tex] e [tex]n[\/tex], em graus.<br \/>\nTemos que os \u00e2ngulos suplementares que pertencem aos tri\u00e2ngulos medem respectivamente<\/p>\n<p style=\"margin-left:30px\"> [tex] 180^{\\circ} \u2013 h, 180^{\\circ}-i[\/tex], no 1\u00ba tri\u00e2ngulo;<br \/>\n [tex]180^{\\circ}- i[\/tex] e [tex]180^{\\circ}-j[\/tex], no 2\u00ba tri\u00e2ngulo<br \/>\n e assim sucessivamente. <\/p>\n<p>O \u00e2ngulo verde no 1\u00ba tri\u00e2ngulo mede [tex]180^{\\circ}\u2013 (180^{\\circ}- h) \u2013 (180^{\\circ} \u2013 i)[\/tex], o que resulta em [tex]h + i \u2013 180^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o, os \u00e2ngulos verdes medem<\/p>\n<p style=\"margin-left:30px\">[tex]h+i-180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]i+j-180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]j+k-180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]k+l-180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]l+m-180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]m+n-180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]n+h-180^{\\circ}[\/tex]<\/p>\n<p> ou seja, sua soma \u00e9:<\/p>\n<p style=\"margin-left:30px\">[tex]2h+2i+2j+2k+2l+2m+2n-(180^{\\circ}\\times7)[\/tex].<\/p>\n<p>Assim, colocando o [tex]2[\/tex] em evid\u00eancia, temos <\/p>\n<p style=\"margin-left:30px\">[tex]2(h+i+j+k+l+m+n)-1260^{\\circ}[\/tex]<\/p>\n<p>e lembrando que [tex]h+i+j+k+l+m+n[\/tex] \u00e9 a soma total das medidas dos \u00e2ngulos internos, podemos troc\u00e1-la por [tex]900^{\\circ}[\/tex]. Dessa forma, ficamos com<\/p>\n<p style=\"margin-left:30px\">[tex]2(900^{\\circ})-1260^{\\circ}=1800^{\\circ}-1260^{\\circ}=540^{\\circ}[\/tex].<\/p>\n<p>Em suma, a soma das medidas dos \u00e2ngulos destacados na figura equivale a [tex]540^{\\circ}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo <strong>COM Grupo Pitag\u00f3rico<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g3\">\nParticipou da discuss\u00e3o o COM <strong>Grupo Pitag\u00f3rico<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Calcule a soma das medidas dos \u00e2ngulos destacados na figura. Solu\u00e7\u00e3o 1 Destacamos em vermelho e azul os \u00e2ngulos internos e externos do pol\u00edgono HIJKLMN, respectivamente. 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