{"id":66759,"date":"2016-09-16T22:54:32","date_gmt":"2016-09-17T01:54:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=66759"},"modified":"2023-04-04T03:08:44","modified_gmt":"2023-04-04T06:08:44","slug":"problemao-condominio-hexagonal","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-condominio-hexagonal\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o:  Condom\u00ednio Hexagonal"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUm grande condom\u00ednio residencial foi projetado de forma que seis pr\u00e9dios iguais sejam constru\u00eddos ao longo de uma circunfer\u00eancia de raio [tex]4[\/tex] dam, conforme mostra a figura.<br \/>\nSabe-se ainda que cada pr\u00e9dio visto de cima \u00e9 um ret\u00e2ngulo com lado menor medindo [tex]1[\/tex] dam. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/04\/Condom\u00ednio-1.png\" alt=\"Condom\u00ednio 1\" width=\"184\" height=\"180\" class=\"aligncenter size-full wp-image-58550\" \/><\/p>\n<p>A disposi\u00e7\u00e3o dos pr\u00e9dios foi projetada de forma que o hex\u00e1gono interno obtido seja regular e dois v\u00e9rtices de cada ret\u00e2ngulo toquem a circunfer\u00eancia.<br \/>\n<strong>Calcular o per\u00edmetro desse hex\u00e1gono.<\/strong><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:35px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve a figura seguinte, na qual [tex]A[\/tex] \u00e9 o centro da circunfer\u00eancia que delimitar\u00e1 a \u00e1rea onde ser\u00e3o constru\u00eddos os pr\u00e9dios. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/Condom\u00ednio-2.png\" alt=\"Condom\u00ednio 2\" width=\"265\" height=\"261\" class=\"aligncenter size-full wp-image-66764\" \/><\/p>\n<p>Temos, ent\u00e3o,<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]AB=4[\/tex] dam;<\/li>\n<li>[tex]BC=1[\/tex] dam;<\/li>\n<li>[tex]AC=x[\/tex] dam.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, [tex]x[\/tex] \u00e9 a medida do lado do hex\u00e1gono regular (conven\u00e7am-se disto!).<br \/>\nObserve que a medida do \u00e2ngulo [tex]\\angle{ACB} \\, [\/tex] \u00e9 [tex] \\, 150^\\circ[\/tex]; assim, aplicando a Lei dos Cossenos ao tri\u00e2ngulo ABC, tem-se:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad (AB)^2=(AC)^2+(BC)^2-(AC)(BC)cos(\\angle{ACB})[\/tex]<br \/>\ndonde<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 4^2=x^2+1^2-2\\cdot x\\cdot 1\\cdot cos 150^\\circ[\/tex].<br \/>\nAssim, [tex] x^2+1-2\\cdot x\\cdot \\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)=16 \\, [\/tex] e, consequentemente, [tex] x=\\dfrac{3\\sqrt{7}-\\sqrt{3}}{2}[\/tex].<br \/>\nDesse modo, o per\u00edmetro do hex\u00e1gono \u00e9 [tex]6\\cdot x=3\\left(3\\sqrt{7}-\\sqrt{3}\\right)[\/tex] dam.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Um grande condom\u00ednio residencial foi projetado de forma que seis pr\u00e9dios iguais sejam constru\u00eddos ao longo de uma circunfer\u00eancia de raio [tex]4[\/tex] dam, conforme mostra a figura. Sabe-se ainda que cada pr\u00e9dio visto de cima \u00e9 um ret\u00e2ngulo com lado menor medindo [tex]1[\/tex] dam. 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