Problema <\/p>\n
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Depois de acabada a aula de Biologia e j\u00e1 na aula de Matem\u00e1tica, na qual o professor estava trabalhando com Geometria, Rita e Ana estavam mais interessadas em desenhar do que em resolver problemas. Elas estavam desenhando girinos usando figuras geom\u00e9tricas.
\nVejam abaixo os desenhos das “artistas”, com os respectivos nomes das autoras.<\/p>\n
\n Uma boa ideia<\/p>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Observem que o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] com v\u00e9rtices nos centros dos tr\u00eas c\u00edrculos desenhados por Rita \u00e9 equil\u00e1tero, assim ele define os tr\u00eas setores circulares [tex]S_1[\/tex], [tex]S_2[\/tex] e [tex]S_3[\/tex], cada um com \u00e2ngulo central de [tex]60^{\\circ}[\/tex]. Notem, tamb\u00e9m, que a \u00e1rea da cauda \u00e9 a \u00e1rea [tex]A_t[\/tex] menos as \u00e1reas desses tr\u00eas setores circulares. Assim, por [tex](i)[\/tex] e [tex](ii)[\/tex], temos que, de fato, as \u00e1reas dos girinos desenhados por Ana e Rita s\u00e3o iguais.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema Depois de acabada a aula de Biologia e j\u00e1 na aula de Matem\u00e1tica, na qual o professor estava trabalhando com Geometria, Rita e Ana estavam mais interessadas em desenhar do que em resolver problemas. Elas estavam desenhando girinos usando figuras geom\u00e9tricas. Vejam abaixo os desenhos das “artistas”, com os respectivos nomes das autoras. Os … <\/p>\n![\"girinos\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/girinos.png\")
\nOs quatro c\u00edrculos utilizados t\u00eam o mesmo raio e no desenho da Rita as tr\u00eas circunfer\u00eancias s\u00e3o duas a duas tangentes externamente. Tamb\u00e9m, no tri\u00e2ngulo, que \u00e9 equil\u00e1tero, o lado na horizontal coincide com o di\u00e2metro do c\u00edrculo.
\nComparadas as \u00e1reas das duas figuras apresentadas, podemos concluir que s\u00e3o iguais ou distintas? Se forem distintas, qual delas \u00e9 maior? Justifique sua resposta.<\/strong><\/div>\n
\nA figura abaixo nos d\u00e1 uma ideia inicial:sobrepor os dois desenhos dos girinos.
\n![\"girinos1\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/girinos1.png\")
\nAo fazermos a sobreposi\u00e7\u00e3o, parece que as \u00e1reas s\u00e3o iguais, n\u00e3o \u00e9?
\n![\"girinos3\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/girinos3.png\")
Embora seja uma boa pista, apenas essa visualiza\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o para o problema. <\/div>\n
\nSejam [tex]A_c[\/tex] e [tex]A_t[\/tex] as \u00e1reas dos c\u00edrculos e do tri\u00e2ngulo, respectivamente, que aparecem nos desenhos.<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad G_{A}=\\boxed{\\dfrac{A_c}{2}+A_t}. \\qquad \\qquad (i)[\/tex]<\/li>\n![\"girino7\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/girino7.png\")
Precisamos, ent\u00e3o, calcular a \u00e1rea da figura correspondente \u00e0 cauda e para isso a pr\u00f3xima figura pode nos ajudar.\n![\"girino5\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/girino5.png\")
<\/p>\n
\nComo [tex]60^{\\circ}=\\dfrac{360^{\\circ}}{6}[\/tex], a \u00e1rea de cada um desses setores corresponde \u00e0 [tex]\\dfrac{1}{6}[\/tex] de [tex]A_c[\/tex] e, assim, a \u00e1rea da figura correspondente \u00e0 cauda ser\u00e1 dada por
\n[tex]\\qquad \\qquad A_t-3 \\cdot \\dfrac{A_c}{6}=A_t-\\dfrac{A_c}{2}[\/tex].
\nCom isso a \u00e1rea da figura que representa o girino desenhado por Rita \u00e9 :
\n[tex]\\qquad \\qquad G_{R}=A_c+\\left(A_t-\\dfrac{A_c}{2}\\right)=\\boxed{\\dfrac{A_c}{2}+A_t}. \\qquad \\qquad (ii)[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
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