{"id":6649,"date":"2013-07-12T23:02:40","date_gmt":"2013-07-13T02:02:40","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=6649"},"modified":"2022-12-31T03:33:10","modified_gmt":"2022-12-31T06:33:10","slug":"probleminha-retangulos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-retangulos\/","title":{"rendered":".Probleminha: Ret\u00e2ngulos"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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O ret\u00e2ngulo vertical (linha cont\u00ednua) tem uma \u00e1rea de 40 cm\u00b2.
\nSendo assim, qual a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo inclinado (linha pontilhada)<\/strong>?<\/p>\n

\"ret\u00e2ngulos<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

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Considere a figura a seguir.<\/p>\n

\"retang\"<\/p>\n

Perceba que os \u00e2ngulos [tex]D\\hat{B}C[\/tex] e [tex]B\\hat{C}F[\/tex] s\u00e3o congruentes, pois ambos s\u00e3o complemento de [tex]C\\hat{B}F[\/tex]. Deste modo, os tri\u00e2ngulos [tex]BCD[\/tex] e [tex]CFB[\/tex] s\u00e3o semelhantes, j\u00e1 que possuem dois \u00e2ngulos ordenadamente congruentes e, por conseguinte, temos os lados destes tri\u00e2ngulos proporcionais.
\nAssim, segue que:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\dfrac{BD}{BC} = \\dfrac{CD}{BF}\\\\
\n\\qquad BD \\cdot BF = CD \\cdot BC \\\\
\n\\qquad \\boxed{BD \\cdot BF = 40}.[\/tex]
\n 
\nLogo, o ret\u00e2ngulo “inclinado” tem \u00e1rea de [tex]40\\,cm^2[\/tex].<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo Clube Os Modulares<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores.<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

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Considere a figura do problema na qual renomeamos os v\u00e9rtices e tra\u00e7amos o segmento [tex]\\overline{BG}[\/tex] perpendicular ao segmento [tex]\\overline{AC}[\/tex]. Al\u00e9m disso, [tex]A_1[\/tex], [tex]A_2[\/tex], [tex]A_3[\/tex], [tex]A_4[\/tex] e [tex]A_5[\/tex] indicam as \u00e1reas dos respectivos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos.<\/p>\n

\"Ret\u00e2ngulos\"<\/p>\n

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A diagonal de um ret\u00e2ngulo divide-o em dois tri\u00e2ngulos congruentes e, portanto, de mesma \u00e1rea. Deste modo, temos:<\/p>\n

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[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(i)} \\,\\,A_2 = A_3[\/tex];
\n[tex]\\quad \\,\\textcolor{#800000}{(ii)}\\,\\,A_4 = A_5[\/tex];
\n[tex]\\quad \\,\\textcolor{#800000}{(iii)}\\,\\,A_1 = A_2 + A_4[\/tex].<\/p>\n

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De [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], temos que [tex]A_2 + A_4[\/tex] \u00e9 metade da \u00e1rea do ret\u00e2ngulo vertical.
\nPor outro lado, somando membro a membro as equa\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], temos [tex]A_2 + A_4 = A_3 + A_5[\/tex], ou seja, [tex]A_2 + A_4[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 metade da \u00e1rea do ret\u00e2ngulo inclinado.
\nConclu\u00edmos, assim, que os dois ret\u00e2ngulos possuem mesma \u00e1rea e, portanto, a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo inclinado \u00e9 [tex]40\\,cm^2[\/tex].<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Um applet para ilustrar<\/p>\n

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Voc\u00ea pode utilizar o applet abaixo para refor\u00e7ar e explicitar o que os c\u00e1lculos efetuados comprovam:<\/p>\n

    \n
  • o fato de o ret\u00e2ngulo inclinado ter a mesma \u00e1rea do ret\u00e2ngulo vertical n\u00e3o \u00e9 uma particularidade da \u00e1rea medir[tex]40\\,cm^2[\/tex] e sim da posi\u00e7\u00e3o em que os ret\u00e2ngulos foram constru\u00eddos.<\/li>\n<\/ul>\n

    Na janela inicial do aplicativo, apresentamos a situa\u00e7\u00e3o discutida no problema, a partir de um ret\u00e2ngulo vertical com lados medindo [tex]5\\,cm[\/tex] e [tex]8\\,cm[\/tex]. Mas voc\u00ea pode movimentar os pontos vermelhos [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex] e [tex]\\textcolor{red}{D}[\/tex] para obter outros ret\u00e2ngulos.
    \nA cada movimento, o aplicativo mostrar\u00e1 imediatamente o valor das \u00e1reas dos dois ret\u00e2ngulos: o ret\u00e2ngulo [tex]\\textcolor{red}{ABCD}[\/tex] e o ret\u00e2ngulo [tex]\\textcolor{blue}{BFGD}[\/tex]. \u00c9 importante voc\u00ea lembrar que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.<\/p>\n

    \n
    \nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
    \n(1)<\/strong> Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span>
    \n(2)<\/strong> Para movimentar os pontos [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex] ou [tex]\\textcolor{red}{D}[\/tex], clique sobre cada um deles com o bot\u00e3o esquerdo do mouse, mantenha o bot\u00e3o pressionado e fa\u00e7a o movimento lentamente. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto [tex]\\color{red}{B}[\/tex] (ou [tex]\\color{red}{D}[\/tex]) e movimente-o.)
    \n(3)<\/strong> Voc\u00ea poder\u00e1 fazer movimentos “mais finos<\/em>” do ponto [tex]\\textcolor{red}{B}[\/tex] utilizando seu teclado. Para isso, clique sobre o ponto com o bot\u00e3o esquerdo do mouse. Em seguida, mantenha a tecla Shift<\/em> do teclado apertada e fa\u00e7a os movimentos utilizando as teclas “mover para direita” ou “mover para esquerda”.
    \n(4)<\/strong> Voc\u00ea poder\u00e1 fazer movimentos “mais finos<\/em>” do ponto [tex]\\textcolor{red}{D}[\/tex] utilizando seu teclado. Para isso, clique sobre o ponto com o bot\u00e3o esquerdo do mouse. Em seguida, mantenha a tecla Shift<\/em> do teclado apertada e fa\u00e7a os movimentos utilizando as teclas “mover para cima” ou “mover para baixo”.
    \n(5)<\/strong> Para voltar para a configura\u00e7\u00e3o inicial, \u00e9 s\u00f3 clicar nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet<\/em>.<\/p>\n

    \n