Problema Se elas s\u00e3o tra\u00e7adas de forma que cada uma delas \u00e9 tangente exteriormente \u00e0s outras duas, como mostra a figura, qual o valor da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo formado pelos centros das circunfer\u00eancias?<\/strong><\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \nHeron de Alexandria<\/strong> (± 10-70), ou ainda Hero ou Her\u00e3o, foi um matem\u00e1tico grego. \u00c9 dele a f\u00f3rmula que nos permite calcular a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo em fun\u00e7\u00e3o das medidas dos seus tr\u00eas lados. \n [tex]\\qquad \\qquad \u00c1rea=\\sqrt{p\\cdot(p-a)\\cdot(p-b)\\cdot(p-c)}[\/tex],<\/p>\n \n onde [tex]p[\/tex] \u00e9 o semiper\u00edmetro do tri\u00e2ngulo em quest\u00e3o, ou seja, [tex]p=\\dfrac{a+b+c}{2}[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n Observando a figura abaixo, podemos calcular a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo pela f\u00f3rmula de Her\u00e3o. <\/p>\n Assim, o semiper\u00edmetro do tri\u00e2ngulo dado \u00e9 Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Grupo Pitag\u00f3rico<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Considere tr\u00eas circunfer\u00eancias com raios medindo [tex]5\\ cm[\/tex], [tex]4\\ cm[\/tex] e [tex]3\\ cm[\/tex]. Se elas s\u00e3o tra\u00e7adas de forma que cada uma delas \u00e9 tangente exteriormente \u00e0s outras duas, como mostra a figura, qual o valor da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo formado pelos centros das circunfer\u00eancias? … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nConsidere tr\u00eas circunfer\u00eancias com raios medindo [tex]5\\ cm[\/tex], [tex]4\\ cm[\/tex] e [tex]3\\ cm[\/tex]. <\/p>\n![\"C\u00edrculos](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/C\u00edrculos-1.png\")
<\/p>\n
\n
\nEm um tri\u00e2ngulo de lados medindo [tex]a, \\, b, \\, c[\/tex], a f\u00f3rmula de Her\u00e3o nos garante que a \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo \u00e9:<\/p>\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/08\/f008.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad p=\\dfrac{7+8+9}{2}=12 \\, cm[\/tex]
\ne a \u00e1rea solicitada
\n[tex]\\qquad \u00c1rea=\\sqrt{12\\cdot(12-7)\\cdot(12-8)\\cdot(12-9)} =12\\cdot \\sqrt{5} \\, cm^2.[\/tex]<\/p>\n
\n
\nDe acordo com a figura dada, os lados do tri\u00e2ngulo s\u00e3o [tex]7,8[\/tex] e [tex]9 \\, cm[\/tex], pois cada lado \u00e9 formado por dois raios ([tex]4+3[\/tex], [tex]5+3[\/tex], [tex]4+5[\/tex]).
\nConsidere a f\u00f3rmula
\n[tex]\\qquad A=\\sqrt{p(p\u2212a)(p\u2212b)(p\u2212c)}[\/tex];
\nsubstituindo [tex]p[\/tex] pela metade do per\u00edmetro, ou seja, [tex]12[\/tex], e substituindo ainda [tex]a[\/tex] por [tex]9, \\, b[\/tex] por [tex]8[\/tex] e [tex]c[\/tex] por [tex]7[\/tex], a f\u00f3rmula fica da seguinte maneira:
\n[tex]\\qquad A=\\sqrt{12(12\u22129)(12\u22128)(12\u22127)}[\/tex].
\nDessa forma,
\n[tex]\\qquad A= \\sqrt{12\\times3\\times4\\times5}[\/tex].
\nAssim:
\n[tex]\\qquad A= \\sqrt{12\\times12\\times5}[\/tex]
\n[tex]\\qquad A= \\sqrt{144\\times5}[\/tex]
\ne como [tex]144[\/tex] \u00e9 um quadrado perfeito e sua raiz \u00e9 [tex]12[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad A= 12 \\sqrt5 \\,\\,cm^2[\/tex].<\/p>\n
\n