{"id":6388,"date":"2013-07-09T23:22:52","date_gmt":"2013-07-10T02:22:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=6388"},"modified":"2023-01-28T03:31:35","modified_gmt":"2023-01-28T06:31:35","slug":"problema-usando-regua-e-compasso","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-usando-regua-e-compasso\/","title":{"rendered":".Problema: Usando r\u00e9gua e compasso"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

\nDispondo apenas de um compasso e de uma r\u00e9gua n\u00e3o graduada:
\n(a)<\/strong> Determine o ponto m\u00e9dio de um dado segmento de reta.
\n(b)<\/strong> A partir de um quadrado de \u00e1rea [tex]Q[\/tex], construir um quadrado de \u00e1rea [tex]\\dfrac{Q}{2}[\/tex].<\/div>\n

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Texto de apoio<\/strong><\/span><\/p>\n

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\"explicador_p\"<\/p>\n

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Brinque um pouco com mediatrizes<\/b><\/span>.<\/span><\/a><\/span><\/p>\n

\n<\/div>\n

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Ajuda<\/strong><\/p>\n

\nVoc\u00ea j\u00e1 sabe que a circunfer\u00eancia \u00e9 um lugar geom\u00e9trico; vejamos outro lugar geom\u00e9trico.<\/p>\n

\n

\nDefini\u00e7\u00e3o: <\/strong>A mediatriz de um segmento de reta \u00e9 a reta perpendicular a ele, tra\u00e7ada pelo seu ponto m\u00e9dio.<\/p>\n

\"figura<\/p>\n

\nPropriedade importante:<\/strong> A mediatriz de um segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 o lugar geom\u00e9trico dos pontos do plano que equidistam de [tex]A[\/tex] e de [tex]B[\/tex].<\/p>\n

\n

As duas constru\u00e7\u00f5es que faremos v\u00e3o se basear fortemente nessa propriedade.<\/strong> N\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio que voc\u00ea saiba fazer a demonstra\u00e7\u00e3o dela para entender as constru\u00e7\u00f5es; mas se voc\u00ea quiser conhecer a demonstra\u00e7\u00e3o, basta clicar no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

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\n <\/p>\n
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\nProva da propriedade<\/strong><\/em>
\nDois conjuntos [tex]R[\/tex] e [tex]S[\/tex] s\u00e3o iguais quando
\n     (i)<\/strong> todo elemento de [tex]R[\/tex] \u00e9 elemento de [tex]S[\/tex]
\ne
\n     (ii)<\/strong> todo elemento de [tex]S[\/tex] \u00e9 elemento de [tex]R[\/tex].
\nSeja [tex]S[\/tex] a mediatriz do segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]R[\/tex] o lugar geom\u00e9trico dos pontos [tex]X[\/tex] do plano tais que [tex]XA = XB[\/tex]. Iremos mostrar que [tex]S = R[\/tex].<\/p>\n
    \n
  • Tome um ponto [tex]X[\/tex] qualquer da mediatriz; se [tex]X[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio de [tex]\\overline{AB}[\/tex], que indicaremos por [tex]M[\/tex], temos que [tex]X \\in R[\/tex]. Caso contr\u00e1rio, trace os segmentos [tex]\\overline{XA}[\/tex] e [tex]\\overline{XB}[\/tex] e perceba que os tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta XAM[\/tex] e [tex]\\Delta XBM[\/tex] s\u00e3o congruentes pelo caso lado-\u00e2ngulo-lado e, portanto, [tex]XA = XB[\/tex], donde temos [tex]X \\in R[\/tex]. Assim, todo ponto de [tex]S[\/tex] \u00e9 ponto de [tex]R[\/tex].
    \n\"figura<\/li>\n
  • Tome um ponto [tex]X[\/tex] qualquer de [tex]R[\/tex], ou seja, um ponto tal que [tex]XA = XB[\/tex]. Se [tex]X[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio de [tex]\\overline{AB}[\/tex], temos [tex]X \\in S[\/tex]. Caso contr\u00e1rio, trace [tex]\\overline{XA}[\/tex], [tex]\\overline{XB}[\/tex] e a reta [tex]XM[\/tex]; perceba que os tri\u00e2ngulos [tex]XAM[\/tex] e [tex]XMB[\/tex] s\u00e3o congruentes pelo caso lado-lado-lado. Portanto, os \u00e2ngulos [tex]\\angle XMA[\/tex] e [tex]\\angle XMB[\/tex] s\u00e3o congruentes; como s\u00e3o tamb\u00e9m suplementares, ambos s\u00e3o \u00e2ngulos retos. Assim a reta [tex]XM[\/tex] \u00e9 a mediatriz de [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]X \\in S[\/tex]. Portanto todo ponto de [tex]R[\/tex] \u00e9 ponto de [tex]S[\/tex].
    \n\"figura<\/li>\n<\/ul>\n

    Conclu\u00edmos, assim, que [tex]S = R[\/tex].
    \nC.Q.D.<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

    \n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

    \n
      \n
    • Constru\u00e7\u00e3o (a)<\/strong>
      \n 
      \nSeja [tex]\\overline{AB}[\/tex] o segmento de reta dado.
      \nComo por dois pontos distintos passa uma \u00fanica reta e a mediatriz de [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 o conjunto de todos os pontos do plano que equidistam de [tex]A[\/tex] e de [tex]B[\/tex] (propriedade enunciada acima), basta encontrarmos dois destes pontos equidistantes de [tex]A[\/tex] e de [tex]B[\/tex] que a mediatriz ser\u00e1 a reta determinada por eles.
      \n 
      \nPasso 1:<\/strong> Com compasso em [tex]A[\/tex] e raio [tex]AB[\/tex] descrevemos uma circunfer\u00eancia [tex]c_1[\/tex].<\/p>\n

      \"figura<\/p>\n

      Passo 2:<\/strong> Com compasso em [tex]B[\/tex] e raio [tex]AB[\/tex] descrevemos uma circunfer\u00eancia [tex]c_2[\/tex].<\/p>\n

      \"figura<\/p>\n

      Passo 3:<\/strong> [tex]c_1[\/tex] e [tex]c_2[\/tex] se intersectam em dois pontos [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] cujas distancias a [tex]A[\/tex] e a [tex]B[\/tex] s\u00e3o iguais a [tex]AB[\/tex].<\/p>\n

      \"figura<\/p>\n

      Passo 4:<\/strong> Com uma r\u00e9gua tra\u00e7amos a reta [tex]CD[\/tex] que ser\u00e1 a mediatriz de [tex]\\overline{AB}[\/tex]. A interse\u00e7\u00e3o de [tex]\\overline{CD}[\/tex] com [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio de [tex]\\overline{AB}[\/tex].<\/p>\n

      \"figura<\/li>\n<\/ul>\n

      \n
      \n

      Voc\u00ea pode utilizar um APPLET para fazer a constru\u00e7\u00e3o que apresentamos ou ver um gif animado. \u00c9 s\u00f3 clicar no respectivo bot\u00e3o!<\/strong><\/p>\n

      \n

      <\/p>\n
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      \n

      Instru\u00e7\u00f5es:<\/strong>
      \nPara executar a constru\u00e7\u00e3o \u00e9 s\u00f3 esperar o aplicativo carregar completamente e clicar sucessivamente nos quadradinhos que ir\u00e3o aparecer.
      \nPara retornar \u00e0 configura\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.<\/span><\/p>\n

      \n

      \n