Problema Uma part\u00edcula situa-se num plano dotado de um sistema de coordenadas retangulares. Sabe-se que, se esta part\u00edcula estiver num ponto qualquer [tex](x,y)[\/tex], ela consegue se deslocar imediatamente e em linha reta apenas para o ponto [tex](x+1,y)[\/tex] ou para o ponto [tex](x,y+1)[\/tex]. <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo Clube Aprendizes dos N\u00fameros <\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n Participou da discuss\u00e3o do problema o Clube Aprendizes dos N\u00fameros<\/strong>.<\/span><\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Uma part\u00edcula situa-se num plano dotado de um sistema de coordenadas retangulares. Sabe-se que, se esta part\u00edcula estiver num ponto qualquer [tex](x,y)[\/tex], ela consegue se deslocar imediatamente e em linha reta apenas para o ponto [tex](x+1,y)[\/tex] ou para o ponto [tex](x,y+1)[\/tex]. Quantos s\u00e3o os trajetos … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/strong><\/p>\n
\n
\nQuantos s\u00e3o os trajetos poss\u00edveis para que a part\u00edcula partindo do ponto [tex](0,0)[\/tex] atinja o ponto [tex](10,8)[\/tex], tendo passado pelo ponto [tex](5,5)[\/tex]? <\/strong>\n<\/p>\n<\/div>\n
\nAntes de mais nada, vale observar que o enunciado nos explica que, com rela\u00e7\u00e3o ao sistema de coordenadas retangulares adotado, a part\u00edcula s\u00f3 pode se mover<\/strong> <\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f046.png\")
\nPara a solu\u00e7\u00e3o, vamos analisar o problema em duas etapas:
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Chegar at\u00e9 o ponto [tex](5,5)[\/tex];
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Ir do ponto [tex](5,5)[\/tex] ao ponto [tex](10,8)[\/tex].
\n
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Para ir do ponto [tex](0,0)[\/tex] ao ponto [tex](5,5)[\/tex] a part\u00edcula vai ter que se deslocar cinco vezes para cima e cinco vezes para direita, s\u00f3 restando saber qual a ordem entre ir para direita e para cima. Isso se resume em descobrir o n\u00famero de formas que se pode arrumar [tex]10[\/tex] elementos, sendo [tex]5[\/tex] iguais a [tex]C[\/tex] e [tex]5[\/tex] iguais a [tex]D[\/tex]. Calculando ent\u00e3o o n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es com repeti\u00e7\u00e3o, temos [tex]\\boxed{P_{10}^{5\\,, \\,5}=\\dfrac{10!}{5! \\cdot 5!_{~}}= 252}[\/tex] formas de percorrer a primeira parte do trajeto.
\n
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Agora estamos no ponto [tex](5,5)[\/tex] e queremos ir ao [tex](10,8)[\/tex]; ent\u00e3o a part\u00edcula vai ter que se deslocar cinco vezes para direita e tr\u00eas para cima. Desta vez, vamos permutar [tex]8[\/tex] elementos, sendo [tex]5[\/tex] iguais [tex]D[\/tex] e [tex]3[\/tex] iguais a [tex]C[\/tex], ou seja, temos [tex]\\boxed{P_{8}^{5\\,, \\,3}=\\dfrac{8!}{5! \\cdot 3!_{~}}= 56}[\/tex] formas de percorrer a segunda parte do trajeto.
\nMultiplicando um resultado pelo outro (Princ\u00edpio Multiplicativo*<\/strong><\/span><\/sup>), teremos o n\u00famero total de possibilidades:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$252 \\times 56 = 14\\;112$}[\/tex] trajetos distintos.<\/p>\n
\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
\n*<\/strong><\/span> Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra do Princ\u00edpio Multiplicativo, sugerimos que voc\u00ea assista a este v\u00eddeo<\/b><\/span><\/a>, a este v\u00eddeo<\/b><\/span><\/a> e a este <\/b><\/span><\/a>.
\nVoc\u00ea pode tamb\u00e9m ler o texto “Princ\u00edpio Fundamental da Contagem” na Sala de Pequenos Textos<\/b><\/span><\/a>, na Nossa Biblioteca.
\nBons estudos!<\/span><\/span><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"