{"id":63184,"date":"2016-06-15T23:14:10","date_gmt":"2016-06-16T02:14:10","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=63184"},"modified":"2025-08-22T15:53:06","modified_gmt":"2025-08-22T18:53:06","slug":"problema-de-olimpiada-cordilheiras","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-olimpiada-cordilheiras\/","title":{"rendered":".Problema de Olimp\u00edada: Cordilheiras num\u00e9ricas"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema<\/p>\n

\nUm n\u00famero de cinco algarismos [tex]abcde[\/tex] diz-se uma cordilheira<\/em><\/strong> se os seus algarismos verificarem as desigualdades [tex] \\, \\, a \\lt b \\gt c \\lt d \\gt e[\/tex].
\nPor exemplo, [tex]37452[\/tex] \u00e9 uma cordilheira.
\nQuantas cordilheiras existem?<\/strong><\/p>\n

\"cordilheira\"
\n (Aqui, a nota\u00e7\u00e3o [tex]abcde[\/tex] n\u00e3o indicar\u00e1 um produto e sim a representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero de cinco algarismos no sistema decimal.)<\/span>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nConsidere uma cordilheira [tex]abcde[\/tex].
\n(1)<\/strong> Observamos, inicialmente, que [tex]a, \\, b, \\, c, \\, d, \\, e[\/tex] s\u00e3o algarismos; logo podem assumir, apenas, os valores:
\n[tex]0, \\, 1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, 5, \\, 6, \\, 7, \\, 8, \\, 9.[\/tex]<\/span>
\n(2)<\/strong> Pelas exig\u00eancias do problema, [tex]c[\/tex] \u00e9 estritamente menor do que [tex] \\, b \\, [\/tex] e [tex] \\, d[\/tex], assim [tex]c[\/tex] n\u00e3o pode ser [tex]9[\/tex], caso contr\u00e1rio n\u00e3o ter\u00edamos valores para [tex] \\, b \\, [\/tex] e [tex] \\, d[\/tex]. Assim:
\no algarismo central [tex]c[\/tex] de uma cordilheira pode variar de [tex]0 \\, [\/tex] a [tex] \\, 8[\/tex].<\/strong><\/span>
\n(3)<\/strong> Como j\u00e1 sabemos que [tex]c \\, [\/tex] \u00e9 estritamente menor do que [tex]b \\, [\/tex] e [tex] \\, d[\/tex], ent\u00e3o:
\npara cada valor de [tex]c[\/tex], os algarismos [tex]b \\, [\/tex] e [tex] \\, d[\/tex] podem variar de [tex]c+1[\/tex] at\u00e9 [tex]9[\/tex].<\/strong> <\/span>
\n(4)<\/strong> Por outro lado, [tex]a[\/tex] \u00e9 estritamente menor do que [tex]b \\, [\/tex] e, tamb\u00e9m, [tex]a\\ne 0[\/tex], pois a cordilheira tem cinco algarismos. Com isso, para cada valor de [tex]b[\/tex], o algarismo [tex]a[\/tex] pode variar de [tex]1[\/tex] at\u00e9 [tex]b-1[\/tex], ou seja:
\npara cada valor de [tex]b[\/tex], existem [tex]b-1[\/tex] possibilidades para [tex]a[\/tex]<\/strong>. <\/span>
\n(5)<\/strong> Finalmente, sabemos que [tex]e[\/tex] \u00e9 estritamente menor do que [tex]d[\/tex]; portanto, para cada valor de [tex]d[\/tex], o algarismo [tex]e[\/tex] pode variar de [tex]0[\/tex] at\u00e9 [tex]d-1[\/tex]. Assim:
\npara cada valor de [tex]d[\/tex], existem [tex]d[\/tex] possibilidades para [tex]e[\/tex]<\/strong>. <\/span>
\nVamos reunir essas informa\u00e7\u00f5es em um quadro, para ajudar na an\u00e1lise.<\/p>\n

\"f005\"<\/p>\n

Assim, para um dado valor de [tex]c[\/tex] ent\u00e3o:<\/p>\n

    \n
  • existem [tex]c + (c + 1) + \\dots + 8[\/tex] possibilidades para a escolha dos algarismos [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex];<\/li>\n
  • existem [tex](c + 1) + (c + 2) + \\dots + 9[\/tex] possibilidades para a escolha dos algarismos [tex]d \\, [\/tex] e [tex] \\, e[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    Dessa forma:<\/p>\n

    \n► <\/span> se [tex]c = 0[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) \u00d7 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 1620[\/tex]<\/span> possibilidades
    \npara os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex] (lembre que [tex]a[\/tex] n\u00e3o pode ser [tex]0[\/tex], por isso aparece um [tex]0[\/tex] na primeira parcela do primeiro fator);
    \n► <\/span> se [tex]c = 1[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) \u00d7 (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 1584[\/tex] possibilidades
    \npara os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex];
    \n► <\/span> se [tex]c = 2[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) \u00d7 (3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 1470[\/tex] possibilidades
    \npara os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex];
    \n► <\/span> se [tex]c = 3[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad (3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8)\u00d7(4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 1287[\/tex] possibilidades
    \npara os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex];
    \n► <\/span> se [tex]c = 4[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad (4 + 5 + 6 + 7 + 8) \u00d7 (5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 1050[\/tex] possibilidades
    \npara os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex];
    \n► <\/span> se [tex]c = 5[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad (5 + 6 + 7 + 8) \u00d7 (6 + 7 + 8 + 9) = 780[\/tex] possibilidades
    \npara os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex];
    \n► <\/span> se [tex]c = 6[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad (6 + 7 + 8) \u00d7 (7 + 8 + 9) = 504[\/tex]
    \npossibilidades para os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex];
    \n► <\/span> se [tex]c = 7[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad (7 + 8) \u00d7 (8 + 9) = 255[\/tex] possibilidades
    \npara os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex];
    \n► <\/span> se [tex]c = 8[\/tex], h\u00e1
    \n[tex]\\quad 8 \u00d7 9 = 72[\/tex] possibilidades
    \npara os algarismos [tex]a, \\, b, \\, d, \\, e[\/tex]. <\/p>\n

    Portanto, como
    \n<\/span> ou [tex]c = 0[\/tex], ou [tex]c = 1[\/tex], ou [tex]c = 2[\/tex], ou [tex]c = 3[\/tex], ou [tex]c = 4[\/tex], ou [tex]c = 5[\/tex], ou [tex]c = 6[\/tex], ou [tex]c = 7[\/tex], ou [tex]c = 8[\/tex],
    \nexistem
    \n<\/span>[tex]\\boxed{1620 + 1584 + 1470 + 1287 + 1050 + 780 + 504 + 255 + 72 = 8622}[\/tex] cordilheiras.<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

    \n

    \nXXX OPM – 2012<\/strong> – Olimp\u00edadas Portuguesas de Matem\u00e1tica
    \nFinal – Categoria B
    \n10\u00ba\/12\u00ba anos\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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