Problema<\/p>\n
\nConsidere um quadrado com lado de comprimento [tex]L[\/tex].
\nTome um tri\u00e2ngulo inscrito nesse quadrado e um novo quadrado inscrito no tri\u00e2ngulo, como mostra a figura abaixo.
\nDetermine o comprimento do lado do quadrado menor inscrito no tri\u00e2ngulo, justificando sua resposta. <\/p>\n
![\"olimpico010\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/olimpico010.png\")
<\/p>\n
\n<\/div>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\nConsidere que [tex]L[\/tex] seja a medida do lado do quadrado maior [tex]ABCD[\/tex] e que [tex]a[\/tex] seja a medida do lado do quadrado menor [tex]FGHI[\/tex], conforme mostra a figura abaixo.<\/p>\n
![\"f006\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/f006.png\")
<\/p>\n
\n
Como [tex]FGHI[\/tex] \u00e9 um quadrado, os lados [tex]\\overline{FG}[\/tex] e [tex]\\overline{IH}[\/tex] s\u00e3o paralelos; assim, os \u00e2ngulos [tex]E\\hat{I}H[\/tex] e [tex]E\\hat{A}B[\/tex] s\u00e3o congruentes, assim como os \u00e2ngulos [tex]E\\hat{H}I[\/tex] e [tex]E\\hat{B}A[\/tex]. Com isso, os tri\u00e2ngulos [tex]EHI[\/tex] e [tex]EBA[\/tex] s\u00e3o semelhantes.
\nAssim, considerando que em tri\u00e2ngulos semelhantes a raz\u00e3o entre os comprimentos de lados correspondentes \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre alturas correspondentes, podemos afirmar que:<\/p>\n
[tex]\\dfrac{L}{a}=\\dfrac{L}{L-a}[\/tex],<\/p>\n
ou seja,<\/p>\n
[tex]\\dfrac{L-a}{a}=\\dfrac{L}{L}=1[\/tex],<\/p>\n
onde [tex]L \u2212 a \\, [\/tex] e [tex] \\, a[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, os comprimentos da altura e da base do tri\u00e2ngulo [tex]EHI[\/tex]; e a base e a altura do tri\u00e2ngulo [tex]EAB[\/tex] t\u00eam comprimentos iguais a [tex]L.[\/tex]
\nCom isso, [tex]L-a=a \\, [\/tex] e, finalmente, [tex]a=\\dfrac{L}{2}[\/tex].
\nPortanto, a medida do lado do quadrado menor \u00e9 igual \u00e0 metade da medida dada do lado do quadrado maior.<\/p>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n XXV OMU<\/strong> – Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica da Unicamp Problema Considere um quadrado com lado de comprimento [tex]L[\/tex]. Tome um tri\u00e2ngulo inscrito nesse quadrado e um novo quadrado inscrito no tri\u00e2ngulo, como mostra a figura abaixo. Determine o comprimento do lado do quadrado menor inscrito no tri\u00e2ngulo, justificando sua resposta. Solu\u00e7\u00e3o Considere que [tex]L[\/tex] seja a medida do lado do quadrado maior [tex]ABCD[\/tex] e … <\/p>\n
\nProva da Terceira Fase – 2009\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"