{"id":61939,"date":"2016-05-27T11:57:17","date_gmt":"2016-05-27T14:57:17","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=61939"},"modified":"2020-11-07T02:08:00","modified_gmt":"2020-11-07T04:08:00","slug":"trigonometria-do-triangulo-retangulo-oficina-somas-e-diferencas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/trigonometria-do-triangulo-retangulo-oficina-somas-e-diferencas\/","title":{"rendered":"Trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo – Oficina: Somas e diferen\u00e7as"},"content":{"rendered":"

<\/a><\/p>\n

\n

\n

\n

Oficina<\/p>\n

\n

Somas e diferen\u00e7as<\/p>\n

\n
\n
\n\n\n
Cosseno da diferen\u00e7a<\/span><\/a><\/td>\n Seno da diferen\u00e7a<\/span><\/a<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Discutiremos nesta sala mais quatro propriedades da trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo.
\nCada uma das quatro propriedades ter\u00e1 um box pr\u00f3prio com applets e dicas para voc\u00eas fazerem suas justificativas.
\n<\/span>\u00c9 s\u00f3 escolher a que lhes interessa e clicar no bot\u00e3o correspondente!<\/strong><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\n\n
Cosseno da soma<\/span><\/a><\/p>\n<\/td>\n Seno da soma<\/span><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

<\/p>\n

\n
\n
<\/a><\/p>\n
\n

Cosseno da diferen\u00e7a<\/p>\n

\n

\n

\nSejam [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta \\, [\/tex] tais que [tex] \\, 0^{\\circ} \\lt \\, \\beta \\, \\lt \\, \\alpha \\, \\lt 90^{\\circ}[\/tex]. Ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad cos \\, (\\alpha-\\beta)=cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta+sen \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta \\, .[\/tex]<\/strong><\/div>\n

\n

\n

Justificativa<\/p>\n

\n

\n

A princ\u00edpio, observem a Figura 1 e tentem obter a igualdade proposta:
\n[tex]\\qquad\\qquad cos \\, (\\alpha-\\beta)=cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta+sen \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta \\, [\/tex].
\n

\"Figura

Figura 1<\/p><\/div> Observem, inicialmente, que as medidas [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta \\, [\/tex] est\u00e3o de acordo com as hip\u00f3teses da propriedade, ou seja, [tex] \\, 0^{\\circ} \\lt \\, \\beta \\, \\lt \\, \\alpha \\, \\lt 90^{\\circ}[\/tex], e tentem utilizar as condi\u00e7\u00f5es de constru\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], quais sejam:
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]B[\/tex];
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]CED[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]E[\/tex];
\n●<\/span> o segmento [tex]DC[\/tex] \u00e9 unit\u00e1rio;
\n●<\/span> o comprimento do segmento [tex]AB[\/tex] \u00e9 [tex]x[\/tex];
\n●<\/span> o comprimento do segmento [tex]AD[\/tex] \u00e9 [tex]y[\/tex].<\/p>\n

– N\u00e3o conseguiram?<\/strong><\/p>\n

➤<\/span> N\u00e3o faz mal; tentem a dica abaixo.<\/td>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nQuais os comprimentos dos segmentos [tex]AE[\/tex], [tex]EC \\, [\/tex] e [tex]DE[\/tex] ? <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

– N\u00e3o conseguiram determinar os comprimentos?<\/strong> <\/p>\n

➤<\/span> Mais uma dica…<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nQual a medida do \u00e2ngulo definido pelo v\u00e9rtice [tex]C[\/tex] ? <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

– Nada ainda????<\/strong> <\/p>\n

\n➤<\/span> Hora do applet<\/em>!<\/span><\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n1)<\/strong> Cliquem aqui<\/strong><\/span><\/a> para abrir o applet<\/em>. (O applet <\/em>abrir\u00e1 em uma janelinha no canto superior esquerdo.)
\n2)<\/strong> Aguardem o aplicativo carregar completamente.
\n3)<\/strong> Com esse applet, voc\u00eas poder\u00e3o reproduzir passo a passo a constru\u00e7\u00e3o que resulta em uma figura como a Figura 1<\/strong>. Para isso, depois que o applet carregar, cliquem em Constru\u00e7\u00e3o<\/strong> e, a seguir, cliquem ordenadamente nos quadradinhos at\u00e9 completar a constru\u00e7\u00e3o.
\n4)<\/strong> Cliquem, agora, em Perguntas<\/strong>.
\n5)<\/strong> A seguir, cliquem em cada uma das perguntas da Dica 1. Pelas respostas voc\u00eas podem concluir que a medida do \u00e2ngulo definido pelo v\u00e9rtice [tex]C[\/tex] \u00e9 [tex]90^{\\circ}-\\alpha[\/tex].
\n6)<\/strong> Ao terminar de utilizar o applet<\/em>, n\u00e3o se esque\u00e7am de fechar a janelinha que se abriu.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nAgora \u00e9 com voc\u00eas!
\nQue tal voc\u00eas tentarem concluir a justificativa? <\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Conferindo…<\/p>\n

\n

\n Para conferir o trabalho realizado, cliquem no bot\u00e3o!<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n\"cos_dif1\"<\/p>\n

Utilizando a figura sugerida observamos que [tex] \\, cos(\\alpha-\\beta )=\\dfrac{x}{y}[\/tex], assim
\n[tex]\\qquad \\qquad x=y \\, cos(\\alpha-\\beta ). \\qquad \\qquad (i)[\/tex]
\nPor outro lado, [tex]cos \\, \\alpha=\\dfrac{x}{y \\, cos \\, \\beta + sen \\, \\alpha}[\/tex], donde
\n[tex]\\qquad \\qquad x=cos \\, \\alpha \\, (y \\, cos \\, \\beta + sen \\, \\alpha). \\qquad \\qquad (ii)[\/tex]
\nPor [tex](i) \\, [\/tex] e [tex] \\, (ii)[\/tex],
\n[tex]\\qquad \\qquad y \\, cos(\\alpha-\\beta ) = cos \\, \\alpha \\, (y \\, cos \\, \\beta +sen \\, \\alpha)[\/tex],
\nlogo
\n[tex]\\qquad\\qquad cos(\\alpha-\\beta ) = cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta + \\dfrac{cos \\, \\alpha}{y} \\, sen \\, \\alpha . \\qquad \\qquad (iii)[\/tex]
\nMas, [tex] \\, sen \\, \\beta=\\dfrac{cos \\, \\alpha}{y}[\/tex], assim, por [tex](iii) \\, [\/tex], finalmente, temos que
\n[tex]\\qquad\\qquad cos(\\alpha-\\beta ) = cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta + sen \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta [\/tex].\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nEscolher outra propriedade<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n
\n
\n
\n
\n
<\/a><\/p>\n
\n

Seno da diferen\u00e7a<\/p>\n

\n

\n

\nSejam [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta \\, [\/tex] tais que [tex] \\, 0^{\\circ} \\lt \\, \\beta \\, \\lt \\, \\alpha \\, \\lt 90^{\\circ}[\/tex]. Ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad sen \\, (\\alpha-\\beta)=sen \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta-sen \\, \\beta\\cdot cos \\, \\alpha \\, .[\/tex]<\/strong><\/div>\n

\n

\n

Justificativa<\/p>\n

\n

\n

A partir da Figura 2, tentem obter a igualdade proposta:
\n[tex]\\qquad\\qquad sen \\, (\\alpha-\\beta)=sen \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta-sen \\, \\beta\\cdot cos \\, \\alpha \\, [\/tex].
\n

\"Figura

Figura 2<\/p><\/div> Observem que, tamb\u00e9m neste caso, as medidas [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta \\, [\/tex] est\u00e3o de acordo com as hip\u00f3teses da propriedade: [tex] \\, 0^{\\circ} \\lt \\, \\beta \\, \\lt \\, \\alpha \\, \\lt 90^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o tentem utilizar as condi\u00e7\u00f5es de constru\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] para mostrar a igualdade:
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]B[\/tex];
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]CED[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]E[\/tex];
\n●<\/span> o segmento [tex]AC[\/tex] \u00e9 unit\u00e1rio;
\n●<\/span> o comprimento do segmento [tex]DE[\/tex] \u00e9 [tex]x[\/tex];
\n●<\/span> o comprimento do segmento [tex]AD[\/tex] \u00e9 [tex]y[\/tex].<\/p>\n

– N\u00e3o deu certo?<\/strong><\/p>\n

➤<\/span> N\u00e3o faz mal; l\u00e1 vai a primeira dica.<\/td>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nQuais os comprimentos dos segmentos [tex]AB[\/tex], [tex]BD \\, [\/tex] e [tex]DC[\/tex] ? <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

– T\u00e1, conseguiram os comprimentos mas n\u00e3o conseguem progredir?<\/strong> <\/p>\n

➤<\/span> A\u00ed vai outra dica…<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nVoc\u00eas v\u00e3o precisar de uma express\u00e3o diferente para [tex]cos \\, \\alpha[\/tex].
\nPara isso, encontrem outro \u00e2ngulo com medida [tex] \\, \\alpha[\/tex] e determinem o comprimento do segmento EA. <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

– Nada ????<\/strong> <\/p>\n

\n➤<\/span>Hora do applet<\/em>!<\/span><\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n1)<\/strong> Cliquem aqui<\/strong><\/span><\/a> para abrir o applet<\/em>. (O applet <\/em>abrir\u00e1 em uma janelinha no canto superior esquerdo.)
\n2)<\/strong> Aguardem o aplicativo carregar completamente.
\n3)<\/strong> Com esse applet, voc\u00eas poder\u00e3o reproduzir passo a passo a constru\u00e7\u00e3o que resulta em uma figura como a Figura 2<\/strong>. Para isso, depois que o applet carregar, cliquem em Constru\u00e7\u00e3o<\/strong> e, a seguir, cliquem ordenadamente nos quadradinhos at\u00e9 completar a constru\u00e7\u00e3o.
\n4)<\/strong> Cliquem, agora, em Perguntas<\/strong>.
\n5)<\/strong> A seguir, cliquem em cada uma das perguntas da Dica 1.
\n6)<\/strong> Cliquem, finalmente, em [tex](iv)[\/tex] para obter o segundo \u00e2ngulo [tex]\\alpha[\/tex].
\n7)<\/strong> Ao terminar de utilizar o applet<\/em>, n\u00e3o se esque\u00e7am de fechar a janelinha que se abriu.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nAgora \u00e9 com voc\u00eas!
\nQue tal conclu\u00edrem essa justificativa? <\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Conferindo…<\/p>\n

\n

\n Para conferir o trabalho realizado, cliquem no bot\u00e3o!<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n

Observando a figura sugerida, temos que [tex] \\, sen(\\alpha-\\beta )=\\dfrac{x}{y}[\/tex], logo
\n[tex]\\qquad \\qquad x=y \\, sen(\\alpha-\\beta ). \\qquad \\qquad (i)[\/tex]<\/p>\n

\"sendif222\"<\/p>\n

Utilizando o tri\u00e2ngulo [tex]DEC[\/tex], podemos observar, tamb\u00e9m, que
\n[tex]cos \\, \\alpha=\\dfrac{x}{sen \\, \\alpha-y \\, sen \\, \\beta}[\/tex], donde
\n[tex]\\qquad \\qquad x=cos \\, \\alpha \\, (sen \\, \\alpha-y \\, sen \\, \\beta). \\qquad \\qquad (ii)[\/tex]
\nPor [tex](i) \\, [\/tex] e [tex] \\, (ii)[\/tex],
\n[tex]\\qquad \\qquad y \\, sen(\\alpha-\\beta ) = cos \\, \\alpha \\, (sen \\, \\alpha-y \\, sen \\, \\beta)[\/tex],
\nlogo
\n[tex]\\qquad\\qquad sen(\\alpha-\\beta ) = \\dfrac{cos \\, \\alpha}{y} \\, sen \\, \\alpha-cos \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta. \\qquad \\qquad (iii)[\/tex]
\nMas, [tex] \\, cos \\, \\beta=\\dfrac{cos \\, \\alpha}{y}[\/tex], assim, por [tex](iii) \\, [\/tex], finalmente, temos que [tex] \\, sen(\\alpha-\\beta) = cos \\, \\beta\\cdot sen \\, \\alpha-cos \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta [\/tex], ou ainda,
\n[tex]\\qquad \\qquad \\, sen(\\alpha-\\beta) = sen \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta-sen \\, \\beta\\cdot cos \\, \\alpha[\/tex].\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nEscolher outra propriedade<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n
\n
\n
\n
\n
<\/a><\/p>\n
\n

Cosseno da soma<\/p>\n

\n

\n

\nSejam [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta \\, [\/tex] tais que [tex] \\, 0^{\\circ} \\lt \\, \\alpha, \\, \\, \\beta, \\, \\, \\alpha+\\beta \\, \\lt 90^{\\circ}[\/tex]. Ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad cos \\, (\\alpha+\\beta)=cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta-sen \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta \\,.[\/tex]<\/div>\n

\n

\n

Justificativa<\/p>\n

\n

\n

A partir da Figura 3, tentem obter que:
\n[tex]\\qquad\\qquad cos \\, (\\alpha+\\beta)=cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta-sen \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta \\,. [\/tex]
\n

\"Figura

Figura 3<\/p><\/div> Para isso observem que as medidas [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta \\, [\/tex] est\u00e3o de acordo com as hip\u00f3teses, j\u00e1 que os \u00e2ngulos de medidas [tex]\\alpha, \\, \\, \\beta, \\, \\, \\alpha+\\beta \\, [\/tex] s\u00e3o agudos, e tentem utilizar as condi\u00e7\u00f5es de constru\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex]:
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]BCA[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]C[\/tex];
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]BED[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]E[\/tex];
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]BCD[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]C[\/tex];
\n●<\/span> o segmento [tex]BD[\/tex] \u00e9 unit\u00e1rio.<\/p>\n

\n

– Est\u00e3o confusos?<\/strong><\/p>\n

➤<\/span> Calma, a\u00ed vai a primeira dica.<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nQuais os comprimentos dos segmentos [tex]BC[\/tex], [tex]CD \\, [\/tex] e [tex]ED[\/tex] ? <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

– E a\u00ed, mais uma ajuda?<\/strong> <\/p>\n

➤<\/span> L\u00e1 vai outra dica…<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nEncontrem um \u00e2ngulo com medida [tex] \\, \\alpha[\/tex] e determinem o comprimento do segmento [tex]DA[\/tex]. <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

– Nada ????<\/strong> <\/p>\n

\n➤<\/span>Hora do applet<\/em>!<\/span><\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n1)<\/strong> Cliquem aqui<\/strong><\/span><\/a> para abrir o applet<\/em>. (O applet <\/em>abrir\u00e1 em uma janelinha no canto superior esquerdo.)
\n2)<\/strong> Aguardem o aplicativo carregar completamente.
\n3)<\/strong> Com esse applet, voc\u00eas poder\u00e3o reproduzir passo a passo a constru\u00e7\u00e3o que resulta em uma figura como a Figura 3<\/strong>. Para isso, depois que o applet carregar, cliquem em Constru\u00e7\u00e3o<\/strong> e, a seguir, cliquem ordenadamente nos quadradinhos at\u00e9 completar a constru\u00e7\u00e3o.
\n4)<\/strong> Cliquem, agora, em Perguntas<\/strong>.
\n5)<\/strong> A seguir, cliquem em cada uma das perguntas da Dica 1.
\n6)<\/strong> Cliquem, finalmente, em [tex](iv)[\/tex] para obter o segundo \u00e2ngulo [tex]\\alpha[\/tex].
\n7)<\/strong> Ao terminar de utilizar o applet<\/em>, n\u00e3o se esque\u00e7am de fechar a janelinha que se abriu.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nAgora \u00e9 com voc\u00eas!
\nConcluam mais esta justificativa! <\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Conferindo…<\/p>\n

\n

\n Para conferir o trabalho realizado, cliquem no bot\u00e3o!<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\nConsidere a pr\u00f3xima figura, resultante das Dicas 1 e 2.<\/p>\n

\"cos_so2\"<\/p>\n

Observando o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] podemos concluir que [tex] \\, \\, tg \\, \\alpha=\\dfrac{cos \\, \\beta}{sen \\, \\beta+\\dfrac{cos(\\alpha +\\beta)}{sen \\, \\alpha}}. \\qquad\\qquad (i)[\/tex]<\/p>\n

\nComo sabemos que [tex] \\, \\, tg \\, \\alpha=\\dfrac{sen \\, \\alpha}{cos \\, \\alpha} [\/tex], segue de [tex](i)[\/tex] que [tex] \\, \\dfrac{sen \\, \\alpha}{cos \\, \\alpha}=\\dfrac{cos \\, \\beta}{sen \\, \\beta+\\dfrac{cos(\\alpha +\\beta)}{sen \\, \\alpha}} \\, [\/tex] e, ent\u00e3o,
\n[tex]\\qquad \\, sen \\, \\alpha\\left( sen \\, \\beta+\\dfrac{cos(\\alpha +\\beta)}{sen \\, \\alpha}\\right)=cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\, sen \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta+cos(\\alpha +\\beta)=cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\, cos(\\alpha +\\beta)=cos \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta-sen \\, \\alpha\\cdot sen \\, \\beta[\/tex].
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nPara obter que a medida do \u00e2ngulo [tex]BAC[\/tex] \u00e9 [tex]\\alpha[\/tex], chame essa medida de [tex]x[\/tex] e a medida do \u00e2ngulo [tex]EBD[\/tex] de [tex]y[\/tex].<\/p>\n

\"cos_soextra\"<\/p>\n

Do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], temos, em graus, que [tex]x+y+\\beta +90=180[\/tex], assim:
\n[tex]\\qquad\\qquad x=90-y-\\beta. \\qquad\\qquad(i)[\/tex]
\nDo tri\u00e2ngulo [tex]EBD[\/tex] segue que
\n[tex]\\qquad\\qquad 90+y+(\\alpha +\\beta)=180. \\qquad\\qquad(ii)[\/tex]
\n De [tex](ii)[\/tex], temos [tex]y=90-(\\alpha +\\beta)[\/tex]; assim, de [tex](i)[\/tex], podemos concluir que
\n[tex]\\qquad\\qquad x=90-90+(\\alpha +\\beta)-\\beta=\\alpha[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nEscolher outra propriedade<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n
\n
\n
\n
\n
<\/a><\/p>\n
\n

Seno da soma<\/p>\n

\n

\n

\nSejam [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta \\, [\/tex] tais que [tex] \\, 0^{\\circ} \\lt \\, \\alpha, \\, \\, \\beta, \\, \\, \\alpha +\\beta \\, \\lt 90^{\\circ}[\/tex]. Ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad sen \\, (\\alpha+\\beta)=sen \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta+sen \\, \\beta\\cdot cos \\, \\alpha [\/tex].<\/div>\n

\n

\n

Justificativa<\/p>\n

\n

\n

A partir da Figura 4, tentem obter que:
\n[tex]\\qquad\\qquad sen \\, (\\alpha+\\beta)=sen \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta+sen \\, \\beta\\cdot cos \\, \\alpha[\/tex].
\n

\"Figura

Figura 4<\/p><\/div> Inicialmente, observem que as medidas dadas, [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta[\/tex], e a medida [tex]\\alpha+\\beta[\/tex] est\u00e3o de acordo com as hip\u00f3teses da propriedade: [tex] \\, 0^{\\circ} \\lt \\, \\alpha, \\, \\, \\beta, \\, \\, \\alpha+\\beta \\, \\lt 90^{\\circ}[\/tex]. Em seguida, tentem utilizar condi\u00e7\u00f5es de constru\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] para mostrar a igualdade.
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]BCA[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]C[\/tex];
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]BED[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]E[\/tex];
\n●<\/span> o tri\u00e2ngulo [tex]BCD[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]C[\/tex];
\n●<\/span> o segmento [tex]BD[\/tex] \u00e9 unit\u00e1rio.<\/p>\n

– N\u00e3o deu certo?<\/strong><\/p>\n

➤<\/span> Normal; vejam a primeira dica.<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nQuais os comprimentos dos segmentos [tex]BE[\/tex], [tex]DE \\, [\/tex] e [tex]BC[\/tex] ? <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

– Conseguiram os comprimentos e n\u00e3o sabem como prosseguir?<\/strong> <\/p>\n

➤<\/span> Olhem a Dica 2 …<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nEncontrem um \u00e2ngulo com medida [tex] \\, \\alpha[\/tex].
\nQual o comprimento do segmento [tex]AE[\/tex]?<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

– \u00c9, a coisa n\u00e3o \u00e9 simples mesmo. Ent\u00e3o…<\/strong> <\/p>\n

\n➤<\/span>Hora do applet<\/em>!<\/span><\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n1)<\/strong> Cliquem aqui<\/strong><\/span><\/a> para abrir o applet<\/em>. (O applet <\/em>abrir\u00e1 em uma janelinha no canto superior esquerdo.)
\n2)<\/strong> Aguardem o aplicativo carregar completamente.
\n3)<\/strong> Com esse applet, voc\u00eas poder\u00e3o reproduzir passo a passo a constru\u00e7\u00e3o que resulta em uma figura como a Figura 4<\/strong>. Para isso, depois que o applet carregar, cliquem em Constru\u00e7\u00e3o<\/strong> e, a seguir, cliquem ordenadamente nos quadradinhos at\u00e9 completar a constru\u00e7\u00e3o.
\n4)<\/strong> Cliquem, agora, em Perguntas<\/strong>.
\n5)<\/strong> A seguir, cliquem em cada uma das perguntas da Dica 1.
\n6)<\/strong> Cliquem, finalmente, em [tex](iv)[\/tex] e [tex](v)[\/tex] para concluir a Dica 2.
\n7)<\/strong> Ao terminar de utilizar o applet<\/em>, n\u00e3o se esque\u00e7am de fechar a janelinha que se abriu.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nVamos concluir a justificativa?
\nAgora \u00e9 com voc\u00eas!<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Conferindo…<\/p>\n

\n

\n Para conferir o trabalho realizado, cliquem no bot\u00e3o!<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\nConsidere a figura abaixo.<\/p>\n

\"seno_soma2\"<\/p>\n

Observando o tri\u00e2ngulo [tex]ACB[\/tex] podemos concluir que [tex] \\, sen \\, \\alpha=\\dfrac{sen(\\alpha+\\beta)}{cos \\, \\beta+\\dfrac{sen \\, \\beta\\cdot cos \\, \\alpha}{sen \\, \\alpha}}[\/tex], donde
\n[tex]\\qquad \\qquad sen(\\alpha+\\beta)=sen \\, \\alpha\\cdot cos \\, \\beta+sen \\, \\beta\\cdot cos \\, \\alpha[\/tex].
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/p>\n

Para obter que a medida do \u00e2ngulo [tex]BAC[\/tex] \u00e9 [tex]\\alpha[\/tex], chame essa medida de [tex]x[\/tex] e a medida do \u00e2ngulo [tex]CBD[\/tex] de [tex]y[\/tex].
\n\"seno_soextra\"<\/p>\n

Do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], temos, em graus, que [tex]x+\\beta +y+90=180[\/tex], assim:
\n[tex]\\qquad\\qquad x=90-y-\\beta. \\qquad\\qquad(i)[\/tex]
\nDo tri\u00e2ngulo [tex]BCD[\/tex] segue que
\n[tex]\\qquad\\qquad y+90+(\\alpha +\\beta)=180. \\qquad\\qquad(ii)[\/tex]
\n De [tex](ii)[\/tex], temos [tex]y=90-(\\alpha +\\beta)[\/tex]; assim, de [tex](i)[\/tex], podemos concluir que
\n[tex]\\qquad\\qquad x=90-90+(\\alpha +\\beta)-\\beta=\\alpha[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nEscolher outra propriedade<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Ir para a Sala principal<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n

\n

\n
\nRefer\u00eancias:
\n✓<\/strong><\/span> ROGER, B. N., Proofs Without Words – Exercises in Visual Thinking<\/strong>. The Mathematical Association of America, 1993.
\n✓<\/strong><\/span> ROGER, B. N., Proofs Without Words II – More Exercises in Visual Thinking<\/strong>. The Mathematical Association of America, 2000.
\n✓<\/strong><\/span> WAGNER, E,; MORGADO, A. C. O.; DO CARMO, M. P., Trigonometria e N\u00fameros Complexos<\/strong>. Rio de Janeiro: SBM, 2005.\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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