{"id":61309,"date":"2016-05-21T21:59:39","date_gmt":"2016-05-22T00:59:39","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=61309"},"modified":"2024-06-04T00:23:01","modified_gmt":"2024-06-04T03:23:01","slug":"sala-de-estudos-propriedades-da-trigonometria-do-triangulo-retangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudos-propriedades-da-trigonometria-do-triangulo-retangulo\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Propriedades da trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo<\/em><\/p>\n

\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Discutiremos nesta sala as propriedades iniciais da trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo.
\nPara esta discuss\u00e3o necessitaremos das defini\u00e7\u00f5es de seno, cosseno e tangente de um \u00e2ngulo agudo.
\nVamos reapresent\u00e1-las aqui, para que voc\u00eas possam trabalhar sem que precisem ficar mudando de p\u00e1gina!<\/p>\n

\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

\nSeja [tex]ACB[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a, \\, b, \\, h[\/tex], respectivamente e um dos \u00e2ngulos agudos com medida [tex]\\theta[\/tex], [tex]0^{\\circ} \\lt\\theta\\lt 90^{\\circ}[\/tex].
\n\"definindo1\"
\nNessas condi\u00e7\u00f5es, chamamos de:<\/p>\n

●<\/span> tangente de<\/em><\/strong> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]tg \\, \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente a [tex]\\theta[\/tex]:
\n[tex]\\qquad\\qquad tg \\, \\theta= \\dfrac{a}{b}[\/tex];<\/p>\n

●<\/span> seno de<\/em><\/strong> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]sen \\, \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto oposto a [tex]\\theta[\/tex] e da hipotenusa:
\n[tex]\\qquad\\qquad sen \\, \\theta= \\dfrac{a}{h}[\/tex];<\/p>\n

●<\/span> cosseno de<\/em><\/strong> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]cos \\, \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto adjacente a [tex]\\theta[\/tex] e da hipotenusa:
\n[tex]\\qquad\\qquad cos \\, \\theta= \\dfrac{b}{h}[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Nesta sala, al\u00e9m de reapresentar as propriedades iniciais da trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, vamos justific\u00e1-las matematicamente e coment\u00e1-las.<\/p>\n

\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

Isso significa que para cada propriedade vamos fazer uma demonstra\u00e7\u00e3ozinha, n\u00e3o \u00e9?<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha10\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Isso mesmo! Afirma\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas carecem de justificativas para que sejam consideradas v\u00e1lidas. Particularmente as justificativas que faremos s\u00e3o muito simples de serem entendidas. <\/p>\n

\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n
\n
\n

Para justificativas mais sofisticadas \u00e9 necess\u00e1rio uma linguagem mais sofisticada, tamb\u00e9m.
\nSe voc\u00eas t\u00eam dificuldades com o uso de linguagem matem\u00e1tica, cliquem no pr\u00f3ximo bot\u00e3o e aprendam um pouco mais… <\/strong><\/p>\n

\n<\/a><\/div>\n

Bom proveito, pessoal ! ! !<\/p>\n

\n

\n
\n
\n

\n

\n

Propriedades iniciais da trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo<\/em><\/p>\n

\n

\n

\n\"definindo1\"
\nPropriedade 1:<\/strong> Seja [tex]ACB[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a, \\, b, \\, h[\/tex], respectivamente. Seja [tex]\\theta[\/tex] a medida em graus de um dos \u00e2ngulos agudos desse tri\u00e2ngulo, [tex]0^{\\circ} \\lt\\theta\\lt 90^{\\circ}[\/tex].
\nNessas condi\u00e7\u00f5es, s\u00e3o v\u00e1lidas as seguintes propriedades:<\/p>\n

\n

a)<\/strong> [tex]sen^2\\theta + cos^2\\theta = 1 \\qquad\\qquad[\/tex]b)<\/strong> [tex]\\dfrac{sen \\, \\theta}{cos \\, \\theta} = tg \\, \\theta[\/tex].<\/span><\/p>\n

\n\n\n
\n
<\/p>\n
\n
\n● N\u00e3o \u00e9 \u00e0 toa que essas duas igualdades s\u00e3o denominadas rela\u00e7\u00f5es fundamentais da trigonometria.
\nObservem que [tex]sen \\, \\theta, \\, cos \\, \\theta, \\, tg \\, \\theta[\/tex] s\u00e3o valores positivos; assim, se conhecemos um desses valores, essas duas rela\u00e7\u00f5es nos fornecem os outros dois.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nConsideremos o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], ret\u00e2ngulo em [tex]C[\/tex] e com um de seus \u00e2ngulos agudos medindo [tex]\\theta[\/tex], conforme mostra a figura acima. Como [tex]ABC[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o Teorema de Pit\u00e1goras nos garante que [tex]a^2+b^2=h^2[\/tex] e, portanto, temos que:
\n[tex]\\quad sen^2\\theta + cos^2\\theta=\\left(\\dfrac {a}{h} \\right)^2 + \\left(\\dfrac {b}{h} \\right)^2=\\dfrac{a^2+b^2}{h^2}=\\dfrac{h^2}{h^2}=1[\/tex].
\nPor outro lado,
\n[tex]\\quad \\dfrac{sen \\, \\theta}{cos \\, \\theta} = \\dfrac{ \\, \\frac {a}{h} \\, }{ \\, \\frac {b}{h} \\, }=\\dfrac{a\\cdot h}{b\\cdot h}=\\dfrac{a}{b}=tg \\, \\theta[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n\"definindo2\"
\nPropriedade 2:<\/strong> Considerem dois \u00e2ngulos agudos complementares com medidas [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex].
\nEnt\u00e3o:<\/p>\n

\n

a)<\/strong> [tex] \\, sen \\, \\alpha = cos \\, \\beta \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\qquad\\qquad[\/tex]b)<\/strong> [tex] \\, tg \\, \\alpha = \\dfrac{1}{tg \\, \\beta}[\/tex].<\/span><\/p>\n

\n\n\n
\n
<\/p>\n
\n
\n● Se os \u00e2ngulos s\u00e3o complementares, ent\u00e3o [tex]\\alpha + \\beta = 90^{\\circ}[\/tex]; portanto, com essa propriedade, quando obtemos o seno, o cosseno e a tangente de um \u00e2ngulo agudo, na verdade, obtemos o seno, o cosseno e a tangente para dois \u00e2ngulos: o \u00e2ngulo inicial e o seu complementar. Assim para se obter as raz\u00f5es trigonom\u00e9tricas relativas aos \u00e2ngulos de medida [tex]\\theta[\/tex], com [tex]0^{\\circ} \\lt \\theta \\lt 90^{\\circ}[\/tex], basta trabalharmos como medidas [tex]\\theta[\/tex] tais que [tex]0^{\\circ} \\lt \\theta \\le 45^{\\circ}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nSe [tex]\\alpha + \\beta = 90^{\\circ}[\/tex], podemos construir um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] tal que seus \u00e2ngulos agudos medem [tex]\\alpha \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta,[\/tex] conforme o tri\u00e2ngulo mostrado na figura. Dessa forma, temos que:
\n[tex]\\qquad (i) \\, sen \\, \\alpha= \\dfrac{a}{h} \\, \\, \\, \\, cos \\, \\alpha= \\dfrac{b}{h} \\, \\, \\, \\, tg \\, \\alpha= \\dfrac{a}{b}[\/tex];<\/p>\n

\n[tex]\\qquad (ii) \\, sen \\, \\beta= \\dfrac{b}{h} \\, \\, \\, \\, cos \\, \\beta= \\dfrac{a}{h} \\, \\, \\, \\, tg \\, \\beta= \\dfrac{b}{a}[\/tex].<\/p>\n

Uma simples compara\u00e7\u00e3o das igualdades de [tex] (i) \\, [\/tex] e [tex] \\, (ii)[\/tex] nos garante que [tex] \\, sen \\, \\alpha = cos \\, \\beta \\, [\/tex] e [tex] \\, tg \\, \\alpha = \\dfrac{1}{tg \\, \\beta}[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\nPropriedade 3:<\/strong> Seja [tex]\\theta[\/tex] tal que [tex]0^{\\circ} \\lt \\theta \\lt 45^{\\circ}[\/tex].
\nEnt\u00e3o:
\na)<\/strong>[tex] \\, sen \\, 2\\theta=2sen\\theta \\cdot cos\\theta\\qquad\\qquad[\/tex]b)<\/strong> [tex]sen \\, \\dfrac{\\theta}{2}=\\sqrt{\\dfrac{1-cos \\, \\theta}{2}}[\/tex].<\/span><\/p>\n

\n\n\n
\n
<\/p>\n
\n
\n● Mais uma propriedade com a qual economizamos c\u00e1lculos!<\/strong>
\nA partir das raz\u00f5es relativas a um \u00e2ngulo de medida [tex]\\theta[\/tex], com [tex]0^{\\circ} \\lt \\theta \\lt 45^{\\circ}[\/tex], podemos obter as raz\u00f5es trigonom\u00e9tricas dos \u00e2ngulos com medidas [tex] \\, \\, 2 \\theta \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, \\dfrac{\\theta}{2} \\, .[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n
\n
\n<\/p>\n
\n
\n\"prop3\"● Com a informa\u00e7\u00e3o de que [tex]\\overline{VA} \\, [\/tex] e [tex]\\overline{VC} \\, [\/tex] s\u00e3o segmentos de comprimento [tex]1[\/tex], a figura por si s\u00f3 justifica a primeira igualdade. Mas, a\u00ed vai uma dica:
\n observe que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ACV[\/tex] pode ser escrita como [tex]\\dfrac{AC \\cdot VB}{2} \\, [\/tex] e tamb\u00e9m como [tex]\\dfrac{VC \\cdot AD}{2}[\/tex].<\/strong><\/p>\n

\n

● Para demonstrar a segunda igualdade, observem que [tex]VD + DC=1[\/tex]. Ent\u00e3o escrevam [tex]VD [\/tex] em fun\u00e7\u00e3o do \u00e2ngulo [tex]2\\theta[\/tex] e, utilizando o tri\u00e2ngulo [tex]ADC[\/tex] escrevam [tex] DC[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o de [tex]sen \\, \\theta[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\nPropriedade 4:<\/strong><\/p>\n

\n

a) <\/strong>[tex] \\, \\, sen \\, 30^{\\circ}=\\dfrac{1}{2}\\qquad\\qquad[\/tex] [tex] \\, \\, \\, \\, cos \\, 30^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\qquad\\qquad[\/tex] [tex] tg \\, 30^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}[\/tex] . <\/p>\n

\n

b) <\/strong>[tex] \\, \\, sen \\, 45^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\qquad\\qquad[\/tex] [tex] cos \\, 45^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\qquad\\qquad[\/tex] [tex] tg \\, 45^{\\circ}=1[\/tex] . <\/p>\n

\n

c) <\/strong>[tex] \\, \\, sen \\, 60^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\qquad\\qquad[\/tex] [tex] cos \\, 60^{\\circ}=\\dfrac{1}{2}\\qquad\\qquad[\/tex] [tex] \\, \\, \\, \\, tg \\, 60^{\\circ}=\\sqrt{3}[\/tex] .<\/p>\n

\n\n\n
\n
<\/p>\n
\n
\n● Diferentemente dos valores da tabela disponibilizada na sala principal, ou mesmo dos valores encontrados por voc\u00eas na Atividade 1, esta propriedade fornece os valores exatos para os senos, cossenos e tangentes dos \u00e2ngulos de [tex]30^{\\circ}, \\, 45^{\\circ} \\, [\/tex] e [tex] \\, 60^{\\circ}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nPelas propriedades anteriores, basta calcularmos uma raz\u00e3o trigonom\u00e9trica para um \u00e2ngulo de [tex] \\, 30^{\\circ}[\/tex] ou [tex] \\, 60^{\\circ}[\/tex] e uma para um \u00e2ngulo de [tex] \\, 45^{\\circ}[\/tex].
\nSugest\u00f5es:<\/strong>
\n● Para a raz\u00e3o do \u00e2ngulo de [tex] \\, 30^{\\circ}[\/tex] ou de [tex] \\, 60^{\\circ}[\/tex], basta considerar um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero com lados unit\u00e1rios e tra\u00e7ar uma de suas alturas.
\n● Para a raz\u00e3o do \u00e2ngulo de [tex] \\, 45^{\\circ}[\/tex], considere um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos unit\u00e1rios.
\n\"propr4\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

Bons estudos!<\/p>\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Ir para a Sala principal<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo Discutiremos nesta sala as propriedades iniciais da trigonometria do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo. Para esta discuss\u00e3o necessitaremos das defini\u00e7\u00f5es de seno, cosseno e tangente de um \u00e2ngulo agudo. Vamos reapresent\u00e1-las aqui, para que voc\u00eas possam trabalhar sem que precisem ficar mudando de p\u00e1gina! Seja [tex]ACB[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos e hipotenusa com … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2970,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-61309","page","type-page","status-publish","has-post-thumbnail","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/61309","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=61309"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/61309\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":219786,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/61309\/revisions\/219786"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2970"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=61309"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}