{"id":6088,"date":"2013-07-02T22:14:27","date_gmt":"2013-07-03T01:14:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=6088"},"modified":"2023-01-21T23:04:50","modified_gmt":"2023-01-22T02:04:50","slug":"problema-um-conhecido-problema-de-idades","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-um-conhecido-problema-de-idades\/","title":{"rendered":".Problema: Um conhecido problema de idades"},"content":{"rendered":"<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 15px;text-align: justify; font-family: verdana; color: #616161;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\nTenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens; quando tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades ser\u00e1 90 anos.<br \/>\n<strong>Determine as idades atuais.<\/strong><\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:10px;\">Extra\u00eddo da <strong> RPM 08<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 15px;text-align: justify; padding-left: 12px;font-family: verdana; color: #616161; line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><span style=\"font-family: 'Georgia'; font-size: 20px; color: #616161;\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\nVamos analisar o problema em tr\u00eas tempos diferentes: no passado, no presente e no futuro.<br \/>\nVamos chamar as duas pessoas de <strong>A<\/strong> e de <strong>B<\/strong>, sendo <strong>A<\/strong> aquela que nos d\u00e1 o enunciado.<\/p>\n<ul>\n<li>No passado: <strong>A<\/strong> tinha uma idade [tex]m[\/tex] e <strong>B<\/strong> tinha uma idade [tex]n[\/tex].<\/li>\n<li>Passados [tex]x[\/tex] anos chegamos ao presente onde: <strong>A<\/strong> tem uma idade [tex]2n[\/tex] e <strong>B<\/strong> tem uma idade [tex]m[\/tex].<\/li>\n<li>Passando [tex]y[\/tex] anos chegaremos ao futuro, quando <strong>A<\/strong> vai ter uma idade qualquer [tex]a[\/tex] e <strong>B<\/strong> ter\u00e1 uma idade [tex]2n[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/f043.png\" alt=\"\" width=\"526\" height=\"106\" class=\"aligncenter size-full wp-image-178721\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/f043.png 526w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/f043-300x60.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 526px) 100vw, 526px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p>Olhando para a idade de <strong>A<\/strong> no passado e no presente teremos que: [tex]m+x=2n\\,.[\/tex]<br \/>\nOlhando para a idade de <strong>B<\/strong> no passado e no presente teremos que: [tex]n+x=m\\,.[\/tex]<br \/>\nSomando essas duas equa\u00e7\u00f5es teremos:<br \/>\n[tex]\\quad m+n+2x=2n+m[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad 2x=n[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad \\boxed{x=n\/2}.[\/tex]<br \/>\nSubstituindo o valor encontrado para [tex]x[\/tex] na primeira equa\u00e7\u00e3o, segue que:<br \/>\n[tex]\\quad m+x=2n[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad m+n\/2=2n[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad m=2n-n\/2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad \\boxed{m=3n\/2}.[\/tex]<br \/>\nJ\u00e1 temos um valor para [tex]m[\/tex], ent\u00e3o podemos olhar para <strong>B<\/strong> no presente e no futuro; assim:<br \/>\n[tex]\\quad m+y=2n[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad 3n\/2+y=2n[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad y=2n-3n\/2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad \\boxed{y=n\/2}.[\/tex]<br \/>\nDessa forma, a idade de <strong>A<\/strong> no futuro vai ser definida por:<br \/>\n[tex]\\quad a=2n+y[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad a=2n+n\/2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad \\boxed{a=5n\/2}.[\/tex]<br \/>\nA soma das idades de <strong>A<\/strong> e de <strong>B<\/strong> no futuro deve dar [tex]90[\/tex], logo:<br \/>\n[tex]\\quad a+2n=90[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad 5n\/2+2n=90[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad 9n\/2=90[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad \\boxed{n=20}.[\/tex]<br \/>\nComo [tex]m=3n\/2[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{m=30}.[\/tex]<br \/>\nAssim, <strong>a idade atual de <strong>A<\/strong> \u00e9 40 anos e a de <strong>B<\/strong> \u00e9 30 anos.<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo Clube <strong> Aprendizes dos N\u00fameros <\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 1px solid #616161; padding: 8px;text-align: justify; font-family: verdana; color: #616161;\"> Participaram da discuss\u00e3o do problema os seguintes Clubes: <strong>Aprendizes dos N\u00fameros;<span style=\" color: #8B8682;\"> Math Error<strong>.<\/span><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens; quando tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades ser\u00e1 90 anos. Determine as idades atuais. Extra\u00eddo da RPM 08. &nbsp; Solu\u00e7\u00e3o Vamos analisar o problema &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-um-conhecido-problema-de-idades\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":164,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-6088","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6088","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/164"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6088"}],"version-history":[{"count":50,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6088\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":183302,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6088\/revisions\/183302"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6088"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}