{"id":60633,"date":"2016-05-14T13:57:12","date_gmt":"2016-05-14T16:57:12","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=60633"},"modified":"2024-11-27T21:59:35","modified_gmt":"2024-11-28T00:59:35","slug":"sala-de-atividades-brincando-com-trigonometria","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-atividades-brincando-com-trigonometria\/","title":{"rendered":"Sala de Atividades: Brincando com trigonometria"},"content":{"rendered":"

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\n\"titulooo\"<\/p>\n
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T\u00f3picos <\/em><\/p>\n

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\nI – Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema<\/span><\/span><\/a>
\nII – Um pouco de Hist\u00f3ria<\/span><\/span><\/a>
\nIII – A matem\u00e1tica que vamos precisar<\/span><\/span><\/a>
\nIV – Medindo o que n\u00e3o podemos alcan\u00e7ar… <\/span><\/span><\/a>\n<\/div>\n

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I – Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema <\/em><\/p>\n

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\nAo falarmos sobre tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos, a primeira propriedade que vem \u00e0 cabe\u00e7a de muitos de voc\u00eas, certamente, \u00e9 o Teorema de Pit\u00e1goras. Mas, apesar de sua beleza e aplicabilidade, o Teorema de Pit\u00e1goras n\u00e3o \u00e9 a \u00fanica propriedade importante dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos. <\/p>\n

\"pitagoras\" <\/p>\n

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Nesta Sala de Atividades, vamos explorar os tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos utilizando ferramentas da Geometria como, por exemplo, semelhan\u00e7a, para obtermos tr\u00eas raz\u00f5es importantes e largamente utilizadas em medi\u00e7\u00f5es indiretas. E, diferentemente do Teorema de Pit\u00e1goras, que utiliza apenas as medidas dos lados dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos, aqui utilizaremos tamb\u00e9m as medidas dos dois \u00e2ngulos agudos desses tri\u00e2ngulos, j\u00e1 que o nosso objetivo ser\u00e1 trabalhar com rela\u00e7\u00f5es entre as medidas dos lados e dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo.<\/span>
\n\"pitagoras_2\"
\n <\/span>O ramo da matem\u00e1tica que se ocupa das rela\u00e7\u00f5es entre \u00e2ngulos e lados de um tri\u00e2ngulo \u00e9 a Trigonometria<\/span>.
\n<\/span>A Trigonometria atua direta ou indiretamente em v\u00e1rios ramos da Matem\u00e1tica que requerem medidas de precis\u00e3o e tem numerosas aplica\u00e7\u00f5es na Astronomia, na Topografia, no estudo de imagens digitais, em sistemas de navega\u00e7\u00e3o por sat\u00e9lites, e, de maneira geral, na determina\u00e7\u00e3o de \u00e2ngulos e de dist\u00e2ncias inacess\u00edveis.
\n<\/span>Nesta Sala, apresentaremos algumas das aplica\u00e7\u00f5es geom\u00e9tricas da trigonometria, com o objetivo de <\/p>\n

\n

estudar medi\u00e7\u00f5es em tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos. <\/p>\n

E se voc\u00eas est\u00e3o habituados a ver a palavra trigonometria em t\u00f3picos do ensino m\u00e9dio, n\u00e3o se preocupem: para entender o que vai ser tratado aqui, voc\u00eas s\u00f3 precisam saber um pouco sobre tri\u00e2ngulos! Assim, se necess\u00e1rio, voc\u00eas poder\u00e3o reencontrar os tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos<\/strong> clicando aqui<\/strong><\/span><\/a> e os tri\u00e2ngulos semelhantes<\/strong>, clicando aqui<\/strong><\/span><\/a>.<\/span>\n<\/div>\n

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II – Um pouco de Hist\u00f3ria <\/em><\/p>\n

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H\u00e1 mais de 3000 anos, os eg\u00edpcios e os babil\u00f4nicos assistiram ao in\u00edcio do desenvolvimento da trigonometria, que surgiu, principalmente, devido a problemas da Astronomia, Agrimensura, Constru\u00e7\u00e3o e Navega\u00e7\u00e3o. Medidas na agrimensura, medidas para a constru\u00e7\u00e3o de pir\u00e2mides, previs\u00e3o de rotas e posi\u00e7\u00f5es de corpos celestes, melhoria na exatid\u00e3o de rotas de navega\u00e7\u00e3o e no c\u00e1lculo do tempo foram situa\u00e7\u00f5es espec\u00edficas nas quais s\u00e3o encontrados os primeiros ind\u00edcios de rudimentos da trigonometria.<\/span>
\n O papiro Rhind<\/strong><\/em><\/span><\/a> e t\u00e1bua cuneiforme Plimpton<\/strong><\/em><\/span> s\u00e3o exemplos de documentos matem\u00e1ticos que chegaram aos nossos dias e que cont\u00eam elementos de trigonometria.<\/p>\n\n\n
\n\"teste\"
\nUma parte do papiro Rhind – Museu Brit\u00e2nico, Londres.<\/span> <\/td>\n		\n\"aaaaaaaa\"
\nPlimpton 322 – Columbia University.<\/span> <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Ainda como parte da Astronomia, o estudo da trigonometria se difundiu pela Gr\u00e9cia, \u00cdndia e Ar\u00e1bia. Os gregos antigos fizeram um estudo sistem\u00e1tico das rela\u00e7\u00f5es entre \u00e2ngulos – ou arcos – numa circunfer\u00eancia e os comprimentos de suas cordas. <\/span><\/p>\n

\"Hiparco\"

Hiparco de Nic\u00e9ia<\/em> (180 – 125 a.C)<\/p><\/div><\/p>\n

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Particularmente o astr\u00f4nomo, construtor, cart\u00f3grafo e matem\u00e1tico grego Hiparco de Nic\u00e9ia<\/em><\/strong><\/span><\/a>, que viveu entre os anos 180 e 125 a.C. e que ganhou o direito de ser chamado de o “Pai da Trigonometria”, construiu uma tabela com comprimentos de cordas que \u00e9 considerada a primeira tabela da trigonometria. Com a ajuda dessa tabela ele podia relacionar facilmente os lados e os \u00e2ngulos de qualquer tri\u00e2ngulo do plano. Mais do que isso, fortemente influenciado pela matem\u00e1tica babil\u00f4nica, Hiparco <\/em>acreditava que a melhor base num\u00e9rica para contagem era a 60. Dessa forma, introduziu na Gr\u00e9cia a divis\u00e3o da circunfer\u00eancia em [tex]360[\/tex] partes iguais, atribuiu o nome “arco de 1 grau”<\/em> a cada parte em que a circunfer\u00eancia ficou dividida e dividiu cada arco de 1 grau em 60 partes obtendo, assim, o “arco de 1 minuto”<\/em>. Infelizmente, os doze livros que continham a trigonometria de Hiparco<\/em>, assim como o restante da sua obra, se perderam com o tempo…<\/span>
\n

\"Cl\u00e1udio

Cl\u00e1udio Ptolomeu (90 \u2013 168)<\/p><\/div>
\nNo entanto, o conhecimento produzido por Hiparco <\/em>foi preservado e ampliado brilhantemente por Cl\u00e1udio Ptolomeu<\/em><\/strong> (90 \u2013 168): astr\u00f4nomo, ge\u00f3grafo, f\u00edsico e matem\u00e1tico da Universidade de Alexandria que tamb\u00e9m estudou os astros com a ajuda da trigonometria. \u00c9 dele o mais influente e significativo comp\u00eandio de Astronomia da Antiguidade: Syntaxis mathematica<\/em>. Escrita em 13 volumes, essa obra ficou conhecida como Almagesto<\/em><\/strong>, que significa “o maior”, em \u00e1rabe, j\u00e1 que os tradutores \u00e1rabes a consideravam a maior obra sobre Astronomia existente na \u00e9poca. O Almagesto <\/em> foi a mais importante fonte de consulta para os astr\u00f4nomos at\u00e9 o s\u00e9culo VIII, \u00e9poca na qual o mundo come\u00e7a a conhecer a matem\u00e1tica hindu.<\/span>
\nCom a matem\u00e1tica hindu apareceram raz\u00f5es trigonom\u00e9tricas, como as que trabalharemos nesta Sala. Mais do que isso, a \u00cdndia revolucionou a trigonometria com um conjunto de textos denominados Siddhanta<\/em><\/strong>, que significa sistemas de Astronomia. Apesar das poucas explica\u00e7\u00f5es e de nenhuma prova, o Siddhanta<\/em> segue um caminho diferente do caminho do Almagesto <\/em> de Ptolomeu e substitui a rela\u00e7\u00e3o entre “as cordas de um c\u00edrculo e os \u00e2ngulos centrais correspondentes” pela rela\u00e7\u00e3o entre “a metade das cordas de um c\u00edrculo e a metade dos \u00e2ngulos centrais correspondentes”, rela\u00e7\u00e3o essa chamada por eles de jiva<\/em>. Surge a\u00ed a “Trigonometria do Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo”.<\/span>
\n\"hindus\"
\n O conflito entre a trigonometria do Almagesto <\/em>e a trigonometria hindu termina quando o matem\u00e1tico \u00e1rabe al-Battani <\/em><\/strong> (850 – 929) adota a trigonometria hindu, introduzindo uma inova\u00e7\u00e3o preciosa para a matem\u00e1tica: o c\u00edrculo de raio unit\u00e1rio.<\/span>
\nDa Ar\u00e1bia, a trigonometria alcan\u00e7ou a Europa, onde se separa da Astronomia para se tornar um ramo independente da Matem\u00e1tica. Nesse novo caminho, a trigonometria ganha um tratamento anal\u00edtico com o matem\u00e1tico franc\u00eas Fran\u00e7ois Vi\u00e8te<\/em><\/strong><\/span><\/a> (1540-1603). No in\u00edcio do s\u00e9culo XVII, o matem\u00e1tico escoc\u00eas John Napier<\/em><\/strong><\/span><\/a> (1550-1617) fez, tamb\u00e9m, contribui\u00e7\u00f5es para a trigonometria.<\/span>
\nNo s\u00e9culo XVIII, como n\u00e3o poderia deixar de ser, a trigonometria recebeu contribui\u00e7\u00f5es importantes do matem\u00e1tico ingl\u00eas Isaac Newton<\/em><\/strong><\/span><\/a> (1643-1727) e do matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o Leonhard Euler <\/em><\/strong><\/span><\/a> (1707-1783). <\/span><\/p>\n\n\n\n
\n\"viete\"\n<\/td>\n\n\"napier\"<\/td>\n\n\"newton\"<\/td>\n\"matematicos\"<\/td>\n<\/tr>\n
Fran\u00e7ois Vi\u00e8te<\/em><\/strong><\/td>\nJohn Napier<\/strong><\/td>\nIsaac Newton<\/em><\/strong><\/td>\nLeonhard Euler<\/em><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

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III – A matem\u00e1tica que vamos precisar<\/em><\/p>\n

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Raz\u00f5es especiais<\/em><\/div >\n
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<\/span>Vamos iniciar este t\u00f3pico estabelecendo tr\u00eas raz\u00f5es entre n\u00fameros reais: essas raz\u00f5es aparecem de maneira natural quando lidamos com tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos semelhantes e s\u00e3o conhecidas como raz\u00f5es trigonom\u00e9tricas<\/strong>. Ent\u00e3o, vamos l\u00e1.
\n<\/span> Considere uma fam\u00edlia de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos [tex]A_1C_1B_1, \\, \\, A_2C_2B_2, \\, \\, A_3C_3B_3, \\, \\, … , \\, \\, A_nC_nB_n, \\, \\, …[\/tex] de modo que cada tri\u00e2ngulo [tex]A_iC_iB_i[\/tex] tenha um dos \u00e2ngulos com medida [tex]\\theta[\/tex], [tex]0^{\\circ} \\lt \\theta \\lt 90^{\\circ}[\/tex].
\n\"semelhantes\" <\/p>\n

\n

<\/span>Como, dois a dois, esses tri\u00e2ngulos t\u00eam dois \u00e2ngulos com a mesma medida, respectivamente [tex]\\theta[\/tex] e [tex]90^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o todos os tri\u00e2ngulos da fam\u00edlia s\u00e3o semelhantes e, consequentemente:<\/p>\n

●<\/span> [tex]\\dfrac{a_1}{b_1}= \\dfrac{a_2}{b_2}=\\dfrac{a_3}{b_3}=\\cdots =\\dfrac{a_n}{b_n}=\\cdots [\/tex]
\n●<\/span> [tex]\\dfrac{a_1}{h_1}= \\dfrac{a_2}{h_2}=\\dfrac{a_3}{h_3}=\\cdots =\\dfrac{a_n}{h_n}=\\cdots [\/tex]
\n●<\/span> [tex]\\dfrac{b_1}{h_1}= \\dfrac{b_2}{h_2}=\\dfrac{b_3}{h_3}=\\cdots =\\dfrac{b_n}{h_n}=\\cdots [\/tex]<\/p>\n

<\/span>Uma observa\u00e7\u00e3o essencial \u00e9 que, fixado um \u00e2ngulo agudo de medida [tex]\\theta[\/tex], em graus, para todo tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo que tenha um de seus \u00e2ngulos agudos com medida [tex]\\theta[\/tex], as raz\u00f5es<\/p>\n

\n [tex] \\, \\dfrac{cateto \\, oposto \\, a \\, \\theta}{cateto \\, adjacente \\, a \\, \\theta} \\, \\qquad\\qquad[\/tex] [tex]\\qquad\\qquad\\dfrac{cateto \\, oposto \\, a \\, \\theta}{hipotenusa} \\, \\qquad\\qquad[\/tex] [tex]\\qquad\\qquad \\, \\dfrac{cateto \\, adjacente \\, a \\, \\theta}{hipotenusa} \\, [\/tex]<\/p>\n

s\u00e3o sempre as mesmas.
\n\"definido\"
\n<\/span>Notem que, embora definidas por comprimentos de lados de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos, essas raz\u00f5es n\u00e3o dependem, particularmente, dos comprimentos dos lados dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos considerados:<\/p>\n

elas s\u00e3o determinadas pelo \u00e2ngulo de medida [tex]\\theta[\/tex] desses tri\u00e2ngulos.<\/p>\n

<\/span>Assim, daremos nomes especiais a essas raz\u00f5es, explicitando a depend\u00eancia entre elas e o \u00e2ngulo de medida [tex]\\theta[\/tex]:<\/p>\n

●<\/span> a constante definida pelas raz\u00f5es entre os comprimentos dos catetos opostos e dos catetos adjacentes dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos semelhantes ser\u00e1 denominada “tangente de<\/em> [tex]\\theta[\/tex]” e denotada por [tex]tg \\, \\theta[\/tex]:
\n[tex]\\qquad\\qquad tg \\, \\theta= \\frac{B_1C_1}{AC_1} =\\frac{B_2C_2}{AC_2} = \\frac{B_3C_3}{AC_3} = \\frac{B_4C_4}{AC_4} =\\dots [\/tex];
\n●<\/span> a constante definida pelas raz\u00f5es entre os comprimentos dos catetos opostos e das hipotenusas dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos semelhantes ser\u00e1 denominada “seno de<\/em> [tex]\\theta[\/tex]” e denotada por [tex] \\, sen \\, \\theta[\/tex]:
\n[tex]\\qquad\\qquad sen \\, \\theta= \\frac{B_1C_1}{AB_1} = \\frac{B_2C_2}{AB_2} = \\frac{B_3C_3}{AB_3} = \\frac{B_4C_4}{AB_4} =\\dots [\/tex];
\n●<\/span> a constante definida pelas raz\u00f5es entre os comprimentos dos catetos adjacentes e das hipotenusas dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos semelhantes ser\u00e1 denominada “cosseno de<\/em> [tex]\\theta[\/tex]” e denotada por [tex]cos \\, \\theta[\/tex]:
\n[tex]\\qquad\\qquad cos \\, \\theta= \\frac{AC_1}{AB_1} = \\frac{AC_2}{AB_2} = \\frac{AC_3}{AB_3} = \\frac{AC_4}{AB_4} =\\dots [\/tex].<\/p>\n

<\/span>Como os valores para o seno, o cosseno e a tangente de \u00e2ngulos com medidas [tex]\\theta[\/tex], [tex]0^{\\circ} \\lt \\theta \\lt 90^{\\circ}[\/tex], dependem apenas do respectivo [tex]\\theta[\/tex], \u00e9 poss\u00edvel construir tabelas contendo aproxima\u00e7\u00f5es para tais valores, o que facilita enormemente a manipula\u00e7\u00e3o desses dados em aplica\u00e7\u00f5es. Essas tabelas s\u00e3o conhecidas como tabelas trigonom\u00e9tricas<\/strong><\/em> ou t\u00e1buas trigonom\u00e9tricas<\/strong><\/em>.
\n<\/span> Embora raz\u00f5es trigonom\u00e9tricas possam ser calculadas para \u00e2ngulos com medidas n\u00e3o inteiras, as tabelas trigonom\u00e9tricas mais simples s\u00e3o as que apresentam as raz\u00f5es trigonom\u00e9tricas definidas para \u00e2ngulos com medidas inteiras entre [tex]0 \\, [\/tex] e [tex] \\, 90[\/tex] graus. Para obter uma tabela dessas, \u00e9 s\u00f3 clicar nos pr\u00f3ximos bot\u00f5es: <\/span><\/p>\n

●<\/span> para baixar <\/strong>o arquivo, cliquem no bot\u00e3o da direita;
\n●<\/span> para apenas consultar<\/strong>, cliquem no bot\u00e3o da esquerda e, depois da consulta, n\u00e3o se esque\u00e7am de fechar a janela que se abriu.<\/p>\n

\n\n\n
\n Consultar<\/span><\/a><\/td>\n\n Baixar o arquivo<\/span><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

<\/span>Se voc\u00eas nunca utilizaram uma tabela trigonom\u00e9trica, observem que, a partir da medida de um \u00e2ngulo, podemos encontrar os valores aproximados dos seus respectivos seno, cosseno e tangente; assim como, a partir do valor de uma raz\u00e3o trigonom\u00e9trica, conseguimos identificar a medida aproximada do \u00e2ngulo que a produz. E, por favor, n\u00e3o se assustem com esse monte de n\u00fameros, pois n\u00e3o \u00e9 preciso decorar o seno, o cosseno e a tangente de todos os poss\u00edveis \u00e2ngulos agudos: tabelas como a que apresentamos podem ser facilmente obtidas em livros ou na Internet<\/em>. Num primeiro momento, o importante \u00e9 voc\u00eas entenderem direitinho o que \u00e9 o seno, o cosseno e a tangente de um dado \u00e2ngulo agudo e terem a certeza de que, se necess\u00e1rio, aproxima\u00e7\u00f5es para esses valores podem ser obtidas, mesmo sem recorrer a tabelas prontas. <\/p>\n

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Atividade 1:<\/strong> Construindo tabelas<\/p>\n

Que tal voc\u00eas tentarem construir uma tabela trigonom\u00e9trica pr\u00f3pria?
\nEssa \u00e9 uma atividade que, al\u00e9m de ajud\u00e1-los no entendimento das raz\u00f5es que definimos, vai ajud\u00e1-los no entendimento do pr\u00f3ximo t\u00f3pico.
\n\u00c9 s\u00f3 clicar no pr\u00f3ximo bot\u00e3o e<\/p>\n

boa divers\u00e3o!<\/p>\n

\n Atividade 1<\/span><\/a><\/p>\n

\n<\/div>\n

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Trabalhando com tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos<\/em><\/p>\n

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Vale a pena observarmos, mais uma vez, a praticidade da ideia de que a tangente, o seno e o cosseno de um determinado \u00e2ngulo agudo de medida [tex]\\theta[\/tex] podem ser obtidos a partir de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo conveniente que tenha um de seus \u00e2ngulos agudos medindo [tex]\\theta[\/tex]. Isso significa que podemos utilizar tabelas trigonom\u00e9tricas (e calculadoras cient\u00edficas s\u00e3o tabelas modernas) para obtermos valores de seno, cosseno e tangente de v\u00e1rios \u00e2ngulos e com isso determinarmos caracter\u00edsticas de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos que apare\u00e7am em problemas e at\u00e9 em situa\u00e7\u00f5es do nosso cotidiano, como a apresentada a seguir.<\/span><\/p>\n

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\n

Um problema inicial<\/p>\n

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\n

Em uma oficina mec\u00e2nica, ser\u00e1 necess\u00e1rio construir uma rampa para carros, de modo a vencer um desn\u00edvel de [tex]2,1 \\, m[\/tex].
\n\"rampa\"
\nSe o \u00e2ngulo de inclina\u00e7\u00e3o deve ter, no m\u00e1ximo, [tex]25^{\\circ}[\/tex], qual deve ser o comprimento m\u00ednimo da rampa? Considerem para a rampa comprimentos representados com uma casa decimal.\n<\/div>\n

\n

<\/span>Apenas com o que foi at\u00e9 agora exposto, voc\u00eas j\u00e1 t\u00eam informa\u00e7\u00f5es mais do que suficientes para resolverem esse probleminha inicial. Mas antes observamos que o estudo espec\u00edfico de propriedades da tangente, do seno e do cosseno de \u00e2ngulos agudos a partir de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos escolhidos segundo nossa conveni\u00eancia \u00e9 o que chamamos de “Trigonometria do Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo<\/strong>“. Voc\u00eas podem ampliar o conhecimento sobre esse assunto acessando esta sala<\/em><\/strong><\/span><\/a>. No entanto, para efeito do que aqui ser\u00e1 discutido, voc\u00eas precisar\u00e3o apenas das pr\u00f3ximas defini\u00e7\u00f5es. <\/p>\n

\n

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Defini\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n

Seja [tex]ACB[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a, \\, b, \\, h[\/tex], respectivamente. Seja [tex]\\theta[\/tex] a medida em graus de um dos \u00e2ngulos agudos desse tri\u00e2ngulo, [tex]0^{\\circ} \\lt\\theta\\lt 90^{\\circ}[\/tex].<\/p>\n\n\n
Chamamos de <\/p>\n

●<\/span> tangente de<\/em> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]tg \\, \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente a [tex]\\theta[\/tex]:
\n[tex]\\qquad\\qquad tg \\, \\theta= \\dfrac{a}{b}[\/tex];
\n●<\/span> seno de<\/em> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]sen \\, \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto oposto a [tex]\\theta[\/tex] e da hipotenusa:
\n[tex]\\qquad\\qquad sen \\, \\theta= \\dfrac{a}{h}[\/tex];
\n●<\/span> cosseno de<\/em> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]cos \\, \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto adjacente a [tex]\\theta[\/tex] e da hipotenusa:
\n[tex]\\qquad\\qquad cos \\, \\theta= \\dfrac{b}{h}[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n

\n\"definindo1\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

<\/span>Agora, voltando ao probleminha inicial, por que voc\u00eas n\u00e3o tentam solucion\u00e1-lo? Voc\u00eas poder\u00e3o conferir a resposta, ou mesmo tentar entender como o problema pode ser resolvido, clicando no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\n\"rampa\"
\n\"problema <\/p>\n

Observem que, matematicamente, o problema solicita que seja determinada a medida [tex]h[\/tex] m\u00ednima da hipotenusa de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo que tem um de seus \u00e2ngulos agudos medindo, no m\u00e1ximo, [tex]25^{\\circ}[\/tex], sendo que o cateto oposto a esse \u00e2ngulo tem [tex]2,1 \\, m[\/tex].<\/p>\n

\n

Na tabela trigonom\u00e9trica acima disponibilizada, podemos observar que, conforme a medida de um \u00e2ngulo agudo aumenta, seu seno tamb\u00e9m aumenta; assim, se queremos que o \u00e2ngulo [tex]\\theta[\/tex] de inclina\u00e7\u00e3o tenha, no m\u00e1ximo, [tex]25^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o o seno de [tex]\\theta[\/tex] deve ser, no m\u00e1ximo, [tex]sen \\, 25^{\\circ}[\/tex].
\nComo [tex] \\, sen \\, \\theta=\\dfrac{2,1}{h} \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, sen \\, 25^{\\circ}\\lt 0,4227[\/tex], ent\u00e3o [tex] \\, \\, \\dfrac{2,1}{h}\\lt 0,4227[\/tex].
\nDessa forma,
\n[tex]\\qquad\\qquad \\dfrac{2,1}{0,4227}\\lt h[\/tex]
\ne, ent\u00e3o,
\n[tex]\\qquad\\qquad h \\gt 4,9681 [\/tex].
\nPortanto, respeitada a exig\u00eancia de a representa\u00e7\u00e3o ser expressa com uma casa decimal, o comprimento da rampa deve ser, no m\u00ednimo, [tex] \\, 5,0 \\, m[\/tex].
\nFicaram em d\u00favida porque [tex] \\, 5,0 \\, m \\, \\, [\/tex] e n\u00e3o [tex] \\, \\, 4,9 \\, m[\/tex]? Testem os valores:<\/p>\n

●<\/span> [tex]\\dfrac{2,1}{5,0}=0,42 \\, \\, [\/tex] e, se [tex] \\, sen \\, \\theta=0,42[\/tex], ent\u00e3o [tex] \\, \\theta\\lt 25^{\\circ}[\/tex];
\n●<\/span> [tex]\\dfrac{2,1}{4,9} \\approx 0,428571 \\, \\, [\/tex] e, se [tex] \\, \\, sen \\, \\theta=0,428571[\/tex], ent\u00e3o [tex] \\, \\, \\theta\\gt 25^{\\circ}[\/tex].<\/p>\n

Observem tamb\u00e9m que, se [tex] \\, h \\gt 5,0[\/tex], ent\u00e3o [tex] \\, \\dfrac {2,1}{h} \\lt \\dfrac {2,1}{5,0}=0,42[\/tex]; assim, [tex] \\, sen \\, \\theta=\\dfrac {2,1}{h} \\lt 0,42 [\/tex], donde [tex] \\, \\theta \\lt 25^{\\circ} [\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

<\/p>\n

\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n<\/a><\/p>\n

\n

\n

IV – Medindo o que n\u00e3o podemos alcan\u00e7ar… <\/em><\/p>\n

\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Quando algu\u00e9m quer saber o tamanho de uma calculadora eletr\u00f4nica, de um celular ou uma folha de caderno basta pegar uma r\u00e9gua e medir os aparelhos ou a folha, n\u00e3o \u00e9? <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

Sim…<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha7\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se precisamos medir a largura de uma sala podemos pegar uma fita m\u00e9trica, esticar e fazer a medi\u00e7\u00e3o. Para obter as dimens\u00f5es de um campo de futebol, vamos ao campo, esticamos uma trena e medimos…<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
\n

A\u00ed vem coisa…<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha10\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Mas voc\u00eas saberiam como medir objetos muito altos e de dif\u00edcil acesso?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

Eu sabia que vinha encrenca…<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha19\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
\n
\n

\n

N\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio nem pensar em medir a dist\u00e2ncia entre a Lua e o Sol para verificar que existem situa\u00e7\u00f5es para as quais os chamados “m\u00e9todos diretos de medi\u00e7\u00e3o da dist\u00e2ncia entre dois pontos” n\u00e3o d\u00e3o certo, mesmo fazendo uma s\u00e9rie de contorcionismos.<\/span>
\n<\/span>Como o pr\u00f3prio nome sugere, a medida de uma dist\u00e2ncia de modo direto consiste simplesmente na leitura da dist\u00e2ncia entre dois pontos mediante a utiliza\u00e7\u00e3o de um instrumento de medida: uma r\u00e9gua graduada, uma fita m\u00e9trica, uma trena. J\u00e1 nos chamados processos indiretos de medida, uma dist\u00e2ncia \u00e9 obtida via c\u00e1lculos matem\u00e1ticos que vinculam a “dist\u00e2ncia a ser calculada” a “outras que s\u00e3o obtidas de modo direto”.
\n<\/span>O probleminha inicial ilustra um processo de medi\u00e7\u00e3o indireta: o dono da oficina mec\u00e2nica obteve o comprimento da rampa mesmo sem medi-la, ali\u00e1s, mesmo sem ter a rampa…
\n<\/span>O probleminha inicial ilustra tamb\u00e9m o modo de se resolver muitos dos problemas que envolvem a determina\u00e7\u00e3o indireta de dist\u00e2ncias: a partir dos dados, tentamos encontrar um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de modo que o comprimento da sua hipotenusa ou de um de seus catetos forne\u00e7a a dist\u00e2ncia a ser determinada. Fatalmente, a solu\u00e7\u00e3o desse tipo de problema requer a utiliza\u00e7\u00e3o de raz\u00f5es trigonom\u00e9tricas. Arquitetos, engenheiros e top\u00f3grafos se deparam muitas vezes com problemas desse tipo nos projetos que desenvolvem.
\n<\/span>Apresentaremos tr\u00eas exemplos cl\u00e1ssicos de problemas que envolvem dist\u00e2ncias que precisam ser obtidas por medi\u00e7\u00e3o indireta n\u00e3o s\u00f3 para que voc\u00eas os resolvam, mas, principalmente, para que voc\u00eas observem exemplos de medi\u00e7\u00f5es diretas necess\u00e1rias para a solu\u00e7\u00e3o desse tipo de problema. Por falar em medida, informamos que as figuras que ilustram os problemas n\u00e3o est\u00e3o em escala.<\/p>\n

\n\n\n\n\n
\n\"predio4\"<\/td>\nUma pessoa com [tex]1,75 \\, m[\/tex] de altura e que se encontra a [tex]20 \\, m[\/tex] da base de um edif\u00edcio v\u00ea o ponto mais alto dele sob um \u00e2ngulo de [tex]50^{\\circ}[\/tex]. Qual a altura aproximada do edif\u00edcio? <\/p>\n
\n <\/p>\n
\n
\nSeja [tex]h[\/tex] o comprimento, em metros, do segundo cateto do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo que aparece na figura.
\n\"edif\"
\nAssim, [tex]tg \\, 50^{\\circ}=\\dfrac{h}{20}[\/tex], donde [tex]h=20\\times tg \\, 50^{\\circ} [\/tex].
\nPortanto [tex]h\\approx 23,84[\/tex] e, ent\u00e3o, a altura do edif\u00edcio \u00e9, aproximadamente, [tex]25,6 \\, m[\/tex].
\nSimples assim…\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n\"telef2\"<\/td>\n A Secretaria de Turismo de uma cidade vai instalar um telef\u00e9rico ligando os topos de duas montanhas, uma com [tex]872 \\, m \\, [\/tex] e a outra com [tex] \\, 761 \\, m[\/tex] de altura, conforme a figura. Os engenheiros respons\u00e1veis pelo projeto mediram o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]A[\/tex] e calcularam que o cabo de a\u00e7o que sustentar\u00e1 o telef\u00e9rico tem curvatura e, por isso, seu comprimento \u00e9 [tex]7\\%[\/tex] maior que a medida do segmento de reta [tex]AB.[\/tex] Assim, calculem o comprimento do cabo. <\/p>\n
\n <\/p>\n
\n
\nO desn\u00edvel em metros entre os pontos [tex]A \\, [\/tex] e [tex] \\, B[\/tex] \u00e9 a diferen\u00e7a [tex]872-761[\/tex], ou seja, [tex]111 \\, m[\/tex]. Assim, temos o tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo abaixo.
\n\"TELE3\"
\nA dist\u00e2ncia [tex]d[\/tex], em metros, entre os pontos [tex]A \\, [\/tex] e [tex] \\, B[\/tex] \u00e9, portanto, dada por [tex]d=\\dfrac{111}{sen \\, 20^{\\circ}}[\/tex] e assim [tex]d \\approx 324,54 \\, m[\/tex].
\nComo o comprimento do cabo deve ser [tex]7\\%[\/tex] maior que a medida do segmento de reta [tex]AB[\/tex], ent\u00e3o esse comprimento \u00e9, aproximadamente, [tex]\\boxed{347,26 \\, m}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n\"teodolito4\"\n<\/td>\n Dois engenheiros est\u00e3o de um mesmo lado de um rio, separados por [tex]30 \\, m[\/tex] um do outro. Cada um deles, em sua respectiva posi\u00e7\u00e3o, observa uma pedra que est\u00e1 na margem do outro lado, segundo um \u00e2ngulo espec\u00edfico, conforme mostra a figura. Supondo que ambos est\u00e3o afastados da margem de uma dist\u00e2ncia de [tex]1,7 \\, m[\/tex] e que as duas margens do rio s\u00e3o paralelas, qual \u00e9 a largura do rio? (Desconsiderar a diferen\u00e7a de altura entre os observadores e a pedra.)<\/p>\n
\n <\/p>\n
\n
\nSe [tex]c[\/tex] \u00e9 o comprimento em metros do segundo cateto do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo que aparece na figura dada, podemos redesenhar assim esse tri\u00e2ngulo:
\n\"rio\"
\nTemos, ent\u00e3o, que [tex]tg \\, 55^{\\circ}=\\dfrac{c}{30}[\/tex] e assim:
\n [tex] \\, \\, \\, \\, c=30\\times tg \\, 55^{\\circ}\\approx 42,84 \\, m[\/tex].
\nComo a dist\u00e2ncia dos engenheiros \u00e0 margem mais pr\u00f3xima \u00e9 [tex]1,7 \\, m[\/tex], ent\u00e3o a largura do rio \u00e9, aproximadamente, [tex]42,84-1,7=\\boxed{41,14 \\, m}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n
\n
\n

\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Nos problemas resolvidos, podemos observar que foram utilizados dados obtidos por dois tipos de medi\u00e7\u00e3o direta: \u00e2ngulos<\/strong>, medidos em graus, e dist\u00e2ncias<\/strong>, medidas em metros, cent\u00edmetros ou quil\u00f4metros.
\nNa pr\u00e1tica, as dist\u00e2ncias podem ser medidas por trenas, por exemplo; mas, e os \u00e2ngulos?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

N\u00e3o podemos usar um transferidor?<\/p>\n<\/td>\n

\n\"carinha20\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Hummm, quase isso!
\nAguarde a pr\u00f3xima atividade e comprove!<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n
\n
\n

Atividade 2
\nOficinas: Obtendo medidas inacess\u00edveis<\/em><\/p>\n

<\/span>Desde as antigas civiliza\u00e7\u00f5es eg\u00edpcias, babil\u00f4nias e gregas, a rela\u00e7\u00e3o entre as medidas de \u00e2ngulos e segmentos t\u00eam ajudado na solu\u00e7\u00e3o de grandes problemas como o c\u00e1lculo da medida do raio da Terra, a determina\u00e7\u00e3o da dist\u00e2ncia relativa do Sol e da Lua, a localiza\u00e7\u00e3o de um navio em alto mar, o c\u00e1lculo da altura de pir\u00e2mides e pr\u00e9dios e da largura de rios e, at\u00e9, a investiga\u00e7\u00e3o de dist\u00e2ncias inacess\u00edveis no espa\u00e7o c\u00f3smico.
\n<\/span>Em comum, esses problemas, e muitos outros, t\u00eam a necessidade do c\u00e1lculo de dist\u00e2ncias imposs\u00edveis ou dif\u00edceis de serem determinadas, caso n\u00e3o se dispusesse de conhecimentos vindos da trigonometria. Mas para a determina\u00e7\u00e3o dessas medidas inacess\u00edveis \u00e9 necess\u00e1rio, de alguma forma, se obter dois tipos de medi\u00e7\u00e3o direta: \u00e2ngulos <\/strong>e dist\u00e2ncias<\/strong>.
\n<\/span>Nos dias de hoje, arquitetos, engenheiros e agrimensores podem contar, na elabora\u00e7\u00e3o de seus projetos, com um instrumento eletr\u00f4nico conhecido como esta\u00e7\u00e3o total<\/strong>, ou taque\u00f4metro. Com esse tipo de equipamento \u00e9 poss\u00edvel se medir \u00e2ngulos e dist\u00e2ncias e, utilizando um computador e tecnologia, transformar, rapidamente, os dados obtidos nessas medi\u00e7\u00f5es em mapas das \u00e1reas que est\u00e3o sendo estudadas.<\/span>
\n

\"Esta\u00e7\u00f5es

Esta\u00e7\u00f5es totais<\/p><\/div>
\n<\/span>Embora a necessidade de se obter dist\u00e2ncias inacess\u00edveis j\u00e1 estivesse presente nas civiliza\u00e7\u00f5es antigas, essas utilizavam instrumentos de medi\u00e7\u00e3o que, frente aos que hoje dispomos, poderiam ser considerados, no m\u00ednimo, como rudimentares. Mas, a simplicidade n\u00e3o deve impedir que se d\u00ea a devida import\u00e2ncia a alguns desses antigos instrumentos. As eficientes esta\u00e7\u00f5es totais, por exemplo, foram desenvolvidas a partir de dois instrumentos de medi\u00e7\u00f5es topogr\u00e1ficas – o teodolito <\/strong>e o distanci\u00f4metro<\/strong> – que t\u00eam antepassados bem antigos…
\n<\/span>E aqui iniciamos a nossa \u00faltima atividade: a constru\u00e7\u00e3o de instrumentos muito simples de medida de \u00e2ngulos para a obten\u00e7\u00e3o, na pr\u00e1tica, de medidas inacess\u00edveis. Isso mesmo, voc\u00eas v\u00e3o p\u00f4r em pr\u00e1tica o que aprenderam com o que foi aqui apresentado e medir dist\u00e2ncias e alturas inacess\u00edveis.<\/p>\n

Como vai ser isso?
\n\u00c9 s\u00f3 clicar no pr\u00f3ximo bot\u00e3o para ver…<\/p>\n

\n Atividade 2<\/span><\/a><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n

\n
\n

Agosto de 2018.<\/p>\n

\n
\nFiguras, v\u00eddeos e material eventual adaptados ou extra\u00eddos de:
\n➨ E – Civil<\/span><\/a>    (Último acesso em 20\/05\/18)
\n➨ iconesbr<\/span><\/a>    (Último acesso em 20\/05\/18)
\n➨ IMATICA – Papiro Rhind<\/span><\/a>    (Último acesso em 20\/05\/18)
\n➨ The Babylonian tablet Plimpton 322<\/span><\/a>    (Último acesso em 20\/05\/18)
\n➨ YouTube<\/span><\/a>    (Último acesso em 20\/05\/18)
\n➨ <\/span> Licen\u00e7as sob Dom\u00ednio p\u00fablico via Wikimedia Commons<\/span><\/a>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

T\u00f3picos I – Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema II – Um pouco de Hist\u00f3ria III – A matem\u00e1tica que vamos precisar IV – Medindo o que n\u00e3o podemos alcan\u00e7ar… I – Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema Ao falarmos sobre tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos, a primeira propriedade que vem \u00e0 cabe\u00e7a de muitos de voc\u00eas, certamente, \u00e9 o Teorema de Pit\u00e1goras. Mas, … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-60633","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/60633","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=60633"}],"version-history":[{"count":37,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/60633\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":223597,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/60633\/revisions\/223597"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=60633"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}