{"id":60278,"date":"2016-05-07T01:27:39","date_gmt":"2016-05-07T04:27:39","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=60278"},"modified":"2019-11-01T05:52:20","modified_gmt":"2019-11-01T08:52:20","slug":"sala-de-ajuda-triangulos-semelhantes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-triangulos-semelhantes\/","title":{"rendered":"Sala de ajuda: Tri\u00e2ngulos semelhantes"},"content":{"rendered":"

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\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Apresentaremos aqui algumas defini\u00e7\u00f5es e propriedades b\u00e1sicas de semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos para ajudar no entendimento da trigonometria dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos.
\nBom proveito!<\/strong><\/span><\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

<\/div>\n
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Um pouco sobre semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos<\/p>\n

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O que s\u00e3o tri\u00e2ngulos semelhantes? <\/p>\n

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\n

Vamos relembrar o que s\u00e3o tri\u00e2ngulos semelhantes?<\/span><\/p>\n

\n

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\n\tDefini\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nDois tri\u00e2ngulos s\u00e3o ditos semelhantes quando existe uma correspond\u00eancia biun\u00edvoca entre seus v\u00e9rtices, de modo que
\n<\/span>(i) \u00e2ngulos internos correspondentes s\u00e3o congruentes;
\n<\/span>(ii) lados correspondentes s\u00e3o proporcionais.<\/p>\n

<\/DIV><\/p>\n

\n

Na figura abaixo, os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]DEF[\/tex] com a seguinte correspond\u00eancia entre v\u00e9rtices:<\/span><\/p>\n

\n

[tex]A\\longleftrightarrow D \\qquad [\/tex]\t[tex]B\\longleftrightarrow E [\/tex]\t[tex]C\\longleftrightarrow F[\/tex]\t<\/p>\n

s\u00e3o semelhantes.
\n\"Semelhan\u00e7a\"\t<\/p>\n

\n

\t Como os dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes, podemos afirmar que:<\/span> \t\t<\/p>\n

●<\/span> [tex]\\widehat{A}[\/tex] e [tex]\\widehat{D}[\/tex] s\u00e3o \u00e2ngulos congruentes, isto \u00e9, \u00e2ngulos com a mesma medida.
\n●<\/span> [tex]\\widehat{B}[\/tex] e [tex]\\widehat{E}[\/tex] s\u00e3o \u00e2ngulos congruentes.
\n●<\/span> [tex]\\widehat{C}[\/tex] e [tex]\\widehat{F}[\/tex] s\u00e3o \u00e2ngulos congruentes.
\n●<\/span> Os lados correspondentes s\u00e3o proporcionais, isto \u00e9, existe um n\u00famero real positivo [tex]k[\/tex], tal que:
\n\t\t\t[tex]\\qquad \\dfrac{DE}{AB}=\\dfrac{EF}{BC}=\\dfrac{FD}{CA}=k[\/tex].<\/p>\n

\t\t\t <\/span>Observem quantas informa\u00e7\u00f5es importantes no estudo da geometria voc\u00eas conseguem obter sabendo que dois dados tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes<\/strong>. S\u00e3o tr\u00eas igualdades de medidas de \u00e2ngulos e tr\u00eas proporcionalidades de comprimentos de segmentos.\n\t<\/div>\n

\n

Mas o que a defini\u00e7\u00e3o de semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos nos diz?<\/p>\n

\n

\n►<\/span> Por um lado, sabendo que dois dados tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes, obtemos tr\u00eas igualdades e tr\u00eas proporcionalidades.<\/p>\n

\n

►<\/span> Mas, por outro, \u00e9 necess\u00e1rio termos em m\u00e3os doze medidas <\/strong> para verificarmos se dois dados tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes:
\n–<\/strong><\/span> as medidas dos tr\u00eas \u00e2ngulos internos do primeiro tri\u00e2ngulo;
\n–<\/strong><\/span> as medidas dos tr\u00eas lados do primeiro tri\u00e2ngulo;
\n–<\/strong><\/span> as medidas dos tr\u00eas \u00e2ngulos internos do segundo tri\u00e2ngulo;
\n–<\/strong><\/span> as medidas dos tr\u00eas lados do segundo tri\u00e2ngulo.<\/div>\n

<\/span>Assim, para se trabalhar mais confortavelmente com semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, s\u00e3o necess\u00e1rias outras informa\u00e7\u00f5es, al\u00e9m da defini\u00e7\u00e3o. As pr\u00f3ximas propriedades v\u00e3o ajudar bastante, j\u00e1 que com elas ser\u00e1 poss\u00edvel concluir que dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes a partir de um n\u00famero menor de medidas conhecidas do que as doze que a defini\u00e7\u00e3o exige. Vejamos.<\/p>\n

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Casos de semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos <\/p>\n

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As tr\u00eas propriedades conhecidas como casos (ou crit\u00e9rios) de semelhan\u00e7a s\u00e3o, na verdade, condi\u00e7\u00f5es m\u00ednimas que, se verificadas, nos permitem afirmar que dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes. Ser\u00e1 que voc\u00eas se lembram delas?<\/span><\/p>\n

\n

\n

\n\tCaso A.A. (\u00e2ngulo – \u00e2ngulo):<\/strong>
\n\tSe dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.<\/p>\n<\/div>\n

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\n

\n\tCaso L.A.L. (lado – \u00e2ngulo – lado):<\/strong>
\n\tSe dois lados de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o proporcionais a dois lados de outro tri\u00e2ngulo e os \u00e2ngulos internos definidos por esses lados s\u00e3o congruentes, ent\u00e3o os tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

\n\tCaso L.L.L. (lado – lado – lado):<\/strong>
\n\tSe os tr\u00eas lados de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o proporcionais aos tr\u00eas lados de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o os tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

<\/span>A pr\u00f3xima propriedade \u00e9 tamb\u00e9m um resultado cl\u00e1ssico da Geometria Plana e mostrar\u00e1 uma situa\u00e7\u00e3o muito especial na qual dois tri\u00e2ngulos ser\u00e3o sempre semelhantes. \t<\/p>\n

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Teorema Fundamental da Proporcionalidade <\/p>\n

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\n\tTeorema:<\/strong>
\n\tSe uma reta paralela a um dos lados de um tri\u00e2ngulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, ent\u00e3o ela determina um tri\u00e2ngulo semelhante ao tri\u00e2ngulo inicial.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\t <\/span>Observem a pr\u00f3xima figura.
\n\t\"Proposi\u00e7\u00e3o\"\t\t<\/p>\n

\n

\t <\/span> O que o teorema acima nos assegura \u00e9 que basta sabermos que a reta [tex]r[\/tex], determinada pelos pontos [tex]D[\/tex] e [tex]E[\/tex], \u00e9 paralela ao lado [tex]AC[\/tex] para concluirmos que os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]DBE[\/tex] s\u00e3o semelhantes. Neste caso, a correspond\u00eancia entre v\u00e9rtices seria:<\/p>\n

\n

[tex]A\\longleftrightarrow D \\qquad [\/tex]\t[tex]B\\longleftrightarrow B \\qquad[\/tex]\t[tex]C\\longleftrightarrow E[\/tex] \t<\/p>\n<\/div>\n

\n

\t <\/span>As demonstra\u00e7\u00f5es dos quatro resultados enunciados n\u00e3o ser\u00e3o discutidas nesta sala, pois fogem do nosso objetivo neste momento, que \u00e9 apenas relembrarmos fatos importantes da semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos. Dessa forma, nas atividades que apresentaremos na Sala Brincando com trigonometria<\/strong><\/span>, voc\u00eas poder\u00e3o utilizar livremente as quatro propriedades apresentadas para concluir, se necess\u00e1rio, que dois dados tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.<\/p>\n

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Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Apresentaremos aqui algumas defini\u00e7\u00f5es e propriedades b\u00e1sicas de semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos para ajudar no entendimento da trigonometria dos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos. Bom proveito!   Um pouco sobre semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos O que s\u00e3o tri\u00e2ngulos semelhantes? Vamos relembrar o que s\u00e3o tri\u00e2ngulos semelhantes? Defini\u00e7\u00e3o: Dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o ditos semelhantes quando existe uma correspond\u00eancia biun\u00edvoca entre seus v\u00e9rtices, … <\/p>\n

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