{"id":59746,"date":"2016-04-23T02:05:09","date_gmt":"2016-04-23T05:05:09","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=59746"},"modified":"2023-03-31T20:49:01","modified_gmt":"2023-03-31T23:49:01","slug":"problema-de-olimpiada-que-funcao-estranha","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-olimpiada-que-funcao-estranha\/","title":{"rendered":".Problema de Olimp\u00edada: Que  fun\u00e7\u00e3o estranha \u2026"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nDetermine todas as fun\u00e7\u00f5es reais  [tex]f: \\mathbb{R} \u2192 \\mathbb{R}[\/tex], tais que<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad f(x^2 + yf(x)) = xf(x + y)[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" >\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeja  [tex]f: \\mathbb{R} \u2192 \\mathbb{R}[\/tex] uma fun\u00e7\u00e3o tal  que<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad f(x^2 + yf(x)) = xf(x + y)[\/tex].[tex]\\qquad\\qquad (i)[\/tex]<br \/>\nInicialmente, observe que se [tex]x=y=0[\/tex], por  [tex](i)[\/tex], obtemos que  [tex]f(0)=0[\/tex].<br \/>\nVamos dividir a nossa discuss\u00e3o em dois casos:<\/p>\n<ul>\n<li> existe um n\u00famero real  [tex]x_o\\ne 0[\/tex] tal que  [tex]f(x_o)= 0[\/tex];<\/li>\n<li> [tex]f(x)\\ne  0[\/tex], para todo [tex]x\\ne 0[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>(1)<\/strong> Se existir um n\u00famero real  [tex]x_o\\ne 0[\/tex] tal que  [tex]f(x_o)= 0[\/tex], ent\u00e3o, por [tex](i)[\/tex],  [tex] \\, f(x_o^2 + yf(x_o)) = x_of(x_o + y) \\, [\/tex]  e, assim,<br \/>\n[tex] \\qquad\\qquad f(x_o + y)=\\dfrac{f(x_o^2 )}{x_o},  \\, \\forall y\\in \\mathbb{R}[\/tex].[tex]\\qquad\\qquad (ii)[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Note que [tex] \\, \\dfrac{f(x_o^2 )}{x_o} \\, [\/tex] \u00e9 um n\u00famero real, logo [tex](ii)[\/tex] nos garante que [tex]f[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o constante. E como  [tex]f(0)=0[\/tex], ent\u00e3o [tex]f[\/tex] \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o nula, que pode ser assim denotada: [tex] \\, f \\equiv 0[\/tex].<\/li>\n<p><strong>(2)<\/strong> Suponha, agora, que [tex]f(x)\\ne  0[\/tex] para todo [tex]x\\ne 0[\/tex].<br \/>\nObserve que se  [tex] y = \u2212x[\/tex], a hip\u00f3tese do problema garante que [tex] f(x^2 -xf(x)) = xf(x-x)=xf(0)=0[\/tex]. Logo<br \/>\n[tex]\\qquad\\qquad  f(x^2 -xf(x))=0,  \\, \\forall x\\in \\mathbb{R} [\/tex]. [tex]\\qquad\\qquad (iii)[\/tex].<br \/>\nComo [tex]f(x)\\ne  0[\/tex] para todo [tex]x\\ne 0[\/tex], por [tex](iii)[\/tex] conclu\u00edmos que [tex]x^2 -xf(x)=0[\/tex],  para todo [tex]x\\ne 0[\/tex], e isso implica, ent\u00e3o, que [tex]f(x)=x[\/tex],  para todo [tex]x\\ne 0[\/tex].<br \/>\nComo [tex]f(0)=0[\/tex] e [tex]f(x)=x[\/tex] para todo [tex]x\\ne 0[\/tex], ent\u00e3o [tex]f(x)=x,  \\, \\forall x\\in \\mathbb{R}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>Pelo exposto, temos duas fun\u00e7\u00f5es [tex]f: \\mathbb{R} \u2192 \\mathbb{R}[\/tex] que satisfazem a igualdade requerida: [tex] \\, \\boxed{f \\equiv 0} \\,  \\, [\/tex] e [tex] \\,  \\,  \\,  \\boxed{f(x)=x, \\, \\forall x\\in \\mathbb{R}}[\/tex].<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nOlimp\u00edada: <strong>INMO &#8211; 2015 <\/strong>  (Indian National Math Olympiad)<br \/>\nN\u00edvel S  &#8211; 3\u00aa s\u00e9rie\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema Determine todas as fun\u00e7\u00f5es reais [tex]f: \\mathbb{R} \u2192 \\mathbb{R}[\/tex], tais que [tex]\\qquad \\qquad f(x^2 + yf(x)) = xf(x + y)[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Seja [tex]f: \\mathbb{R} \u2192 \\mathbb{R}[\/tex] uma fun\u00e7\u00e3o tal que [tex]\\qquad \\qquad f(x^2 + yf(x)) = xf(x + y)[\/tex].[tex]\\qquad\\qquad (i)[\/tex] Inicialmente, observe que se [tex]x=y=0[\/tex], por [tex](i)[\/tex], obtemos que [tex]f(0)=0[\/tex]. Vamos dividir a nossa &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-olimpiada-que-funcao-estranha\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-59746","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/59746","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=59746"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/59746\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185980,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/59746\/revisions\/185980"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=59746"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}