{"id":59382,"date":"2016-04-22T18:45:42","date_gmt":"2016-04-22T21:45:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=59382"},"modified":"2023-03-31T20:49:32","modified_gmt":"2023-03-31T23:49:32","slug":"problema-de-olimpiada-um-certo-triangulo-isosceles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-olimpiada-um-certo-triangulo-isosceles\/","title":{"rendered":".Problema de Olimp\u00edada: Um certo tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles"},"content":{"rendered":"

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Problema<\/p>\n

\nQual \u00e9 o \u00e2ngulo interno de menor medida em um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles que tem uma mediana que o divide em dois tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles?<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nSeja [tex]ABC[\/tex] um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles que tem uma mediana que o divide em dois outros tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles.
\nComo [tex]ABC[\/tex] tem dois lados com a mesma medida, cabe a seguinte pergunta: A mediana que divide [tex]ABC[\/tex] em dois tri\u00e2ngulos internos is\u00f3sceles \u00e9 relativa a um de seus lados congruentes?<\/strong>
\nVejamos.<\/p>\n\n\n\n
\"olimpico016\"<\/td>\n No tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] ao lado, [tex]AC=BC=2x[\/tex] e [tex]AB = y[\/tex].
\nSeja [tex]\\overline{AM}[\/tex] a mediana relativa ao lado [tex]\\overline{BC}[\/tex] e suponha que os dois tri\u00e2ngulos internos [tex]ABM[\/tex] e [tex]AMC[\/tex] sejam is\u00f3sceles. Suponha [tex]AM=z[\/tex].
\nComo [tex]x\\ne0[\/tex], [tex]x\\ne 2x[\/tex]; ent\u00e3o para que [tex]AMC[\/tex] seja is\u00f3sceles devemos ter [tex]z=2x[\/tex] ou [tex]z=x[\/tex]. Mas, pela desigualdade triangular aplicada ao tri\u00e2ngulo [tex]AMC[\/tex], [tex]z+x\\gt 2x [\/tex], logo n\u00e3o podemos ter [tex]z=x[\/tex].
\nAssim, necessariamente, [tex]z=2x[\/tex].<\/td>\n<\/tr>\n
\"olimpico017\"<\/td>\n\nMais uma vez, como [tex]x\\ne 0[\/tex], [tex]x\\ne 2x[\/tex]; ent\u00e3o para que [tex]AMB[\/tex] seja is\u00f3sceles devemos ter [tex]y=2x[\/tex] ou [tex]y=x[\/tex]. Pela desigualdade triangular aplicada ao tri\u00e2ngulo [tex]AMB[\/tex], temos que [tex]y+x\\gt 2x [\/tex], logo [tex]y\\ne x[\/tex] e resta apenas a hip\u00f3tese de que [tex]y=2x[\/tex].
\nMas, se [tex]y=2x[\/tex], o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero e, assim, a mediana [tex]\\overline{AM}[\/tex] seria tamb\u00e9m a altura do tri\u00e2ngulo relativa ao lado [tex]\\overline{BC}[\/tex]. Com isso o tri\u00e2ngulo [tex]AMC[\/tex] seria um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o que n\u00e3o pode ocorrer, pois os lados [tex] 2x, \\, x, \\, 2x[\/tex] n\u00e3o satisfazem o Teorema de Pit\u00e1goras, j\u00e1 que [tex] (2x)^2+x^2=5x^2\\ne4x^2=(2x)^2[\/tex].<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\nPelo exposto, a mediana que divide o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] em dois outros tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles N\u00c3O \u00e9 relativa a um dos lados congruentes<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n
\n\"olimpico019\"<\/td>\n Assim, considere a mediana [tex]\\overline{CM}[\/tex] relativa ao lado n\u00e3o congruente [tex]\\overline{AB}[\/tex] e suponha que os tri\u00e2ngulos [tex]ACM[\/tex] e [tex]MCB[\/tex] sejam is\u00f3sceles.
\nComo o pr\u00f3prio tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles, a mediana [tex]\\overline{CM}[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m mediatriz, assim [tex]\\widehat{M}[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo reto. Agora, se [tex]CA=CB=a \\, [\/tex] e [tex] \\, AB=2b[\/tex], qual \u00e9 a medida [tex]z[\/tex] da mediana [tex]CM[\/tex]?
\nComo [tex]a\\gt b[\/tex] e os tri\u00e2ngulos internos s\u00e3o is\u00f3sceles, a princ\u00edpio ter\u00edamos duas possibilidades: [tex]z=a[\/tex] ou [tex]z=b[\/tex]. No entanto, os tri\u00e2ngulos internos tamb\u00e9m s\u00e3o ret\u00e2ngulos, logo [tex]a \\gt z[\/tex], assim, [tex]z\\ne a[\/tex] e, portanto, [tex]z=b[\/tex].<\/td>\n<\/tr>\n
\"olimpico020\"<\/td>\n Com o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] determinado dentro das condi\u00e7\u00f5es do problema, vamos responder \u00e0 pergunta formulada no problema.
\nComo os tri\u00e2ngulos [tex]AMC[\/tex] e [tex]BMC[\/tex] s\u00e3o is\u00f3sceles, cada um desses tri\u00e2ngulos tem um par de \u00e2ngulos agudos com a mesma medida. Como esses tri\u00e2ngulos s\u00e3o ret\u00e2ngulos, a soma dessas medidas \u00e9 [tex]180^{\\circ}-90^{\\circ}=90^{\\circ}[\/tex] e, portanto, cada um desses tri\u00e2ngulos tem um par de \u00e2ngulos agudos, cada um medindo [tex]45^{\\circ}[\/tex].
\nMas [tex]\\widehat{A}[\/tex] e [tex]\\widehat{B}[\/tex] s\u00e3o tamb\u00e9m \u00e2ngulos do tri\u00e2ngulo inicial [tex]ABC[\/tex], logo, [tex]ABC[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo is\u00f3sceles.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Portanto, a menor medida poss\u00edvel para um \u00e2ngulo interno de um tri\u00e2ngulo nas condi\u00e7\u00f5es dadas \u00e9 [tex]45^{\\circ}[\/tex].<\/strong><\/p>\n

\"olimpico021\"<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Aplicativos<\/p>\n

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\nSe voc\u00ea gosta de visualizar resultados geom\u00e9tricos, utilize os applets <\/em>abaixo
\npara verificar, na pr\u00e1tica, duas das situa\u00e7\u00f5es que apareceram na solu\u00e7\u00e3o apresentada.<\/p>\n

Boa divers\u00e3o!!<\/p>\n

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Aplicativo 1 <\/p>\n

Com este applet<\/em>, voc\u00ea pode verificar, em v\u00e1rios casos particulares, que a mediana relativa a um dos lados congruentes de um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles n\u00e3o divide esse tri\u00e2ngulo em dois tri\u00e2ngulos internos tamb\u00e9m is\u00f3sceles. Para isso:<\/p>\n

1. Clique na figura abaixo.
\n2. Aguarde o applet <\/em>carregar. (O aplicativo vai abrir em outra janela.)
\n3. Escolha uma medida para a base [tex]\\overline{AB}[\/tex] do tri\u00e2ngulo, movimentando horizontalmente o ponto b<\/strong> que aparece na parte inferior do applet<\/em>.
\n4. Em seguida, movimente verticalmente o ponto [tex]C[\/tex] para obter v\u00e1rios tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles com a base [tex]\\overline{AB}[\/tex] fixada no passo anterior.
\n5. Para cada tri\u00e2ngulo, verifique que os tri\u00e2ngulos internos obtidos n\u00e3o s\u00e3o is\u00f3sceles.
\n6. Quando terminar, n\u00e3o se esque\u00e7a de fechar a janela que se abriu.<\/p>\n

\"olimpico022\"<\/a>\n<\/div>\n

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Aplicativo 2 <\/p>\n

Com este segundo applet<\/em>, voc\u00ea pode verificar, para alguns casos particulares, que se a mediana relativa ao lado n\u00e3o congruente de um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles divide esse tri\u00e2ngulo em dois tri\u00e2ngulos internos tamb\u00e9m is\u00f3sceles, ent\u00e3o o tri\u00e2ngulo em quest\u00e3o \u00e9 ret\u00e2ngulo. Para isso:<\/p>\n

1. Clique na figura abaixo.
\n2. Aguarde o applet <\/em>carregar. (O aplicativo vai abrir em outra janela.)
\n3. Escolha uma medida para a base [tex]\\overline{AB}[\/tex] do tri\u00e2ngulo, movimentando horizontalmente o ponto b que aparece na parte inferior do applet<\/em>.
\n4. Em seguida, movimente verticalmente o ponto [tex]C[\/tex] para obter v\u00e1rios tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles com a base [tex]\\overline{AB}[\/tex] fixada no passo anterior.
\n5. Verifique que \u00e9 poss\u00edvel se obter tri\u00e2ngulos para os quais os tri\u00e2ngulos internos obtidos s\u00e3o is\u00f3sceles.
\n6. Quando o passo 5 for verificado, observe que, de fato, o tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles [tex]ABC[\/tex] obtido \u00e9 ret\u00e2ngulo.
\n7. Quando terminar, n\u00e3o se esque\u00e7a de fechar a janela que se abriu.<\/p>\n

\"olimpico023\"<\/a>\n<\/div>\n

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\nOlimp\u00edada: Canguru 2012 <\/strong>
\nN\u00edvel S – 3\u00aa s\u00e9rie\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema Qual \u00e9 o \u00e2ngulo interno de menor medida em um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles que tem uma mediana que o divide em dois tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles? Solu\u00e7\u00e3o Seja [tex]ABC[\/tex] um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles que tem uma mediana que o divide em dois outros tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles. Como [tex]ABC[\/tex] tem dois lados com a mesma medida, cabe a seguinte pergunta: … <\/p>\n

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