Problema<\/p>\n
\nUm tri\u00e2ngulo \u00e9 dobrado ao longo da linha tracejada, de modo a se obter a figura abaixo, cujo contorno \u00e9 um hept\u00e1gono. <\/p>\n
- \n
- A \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original \u00e9 1,5 vezes o valor da \u00e1rea do hept\u00e1gono. <\/li>\n
- A \u00e1rea total das tr\u00eas regi\u00f5es sombreadas \u00e9 1. <\/li>\n<\/ul>\n
Qual \u00e9 a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original?
\n<\/strong><\/p>\n![\"olimpico009\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/olimpico009.png\")
<\/p>\n\n<\/div>\n
\n
\nSolu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n
\nS\u00f3 para “desbitolar<\/em>“, vamos resolver o problema sem utilizar calculadoras e, tamb\u00e9m, sem o uso de raz\u00f5es como representa\u00e7\u00e3o de n\u00fameros racionais.
\nSejam [tex]H[\/tex], [tex]Q[\/tex] e [tex]T[\/tex] as \u00e1reas do hept\u00e1gono, do quadril\u00e1tero branco e do tri\u00e2ngulo original, respectivamente.<\/p>\n![\"olimpico015\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/04\/olimpico015.png\")
<\/p>\nPodemos observar que:<\/p>\n
- \n
- pela figura da direita, a \u00e1rea do hept\u00e1gono \u00e9 a \u00e1rea do quadril\u00e1tero branco mais a \u00e1rea sombreada.
\nComo a \u00e1rea sombreada \u00e9 [tex]1[\/tex], ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad H = Q +1. \\qquad\\qquad (i)[\/tex]<\/li>\n - pela figura da direita, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original (figura da esquerda) \u00e9 a \u00e1rea do hept\u00e1gono mais a \u00e1rea do quadril\u00e1tero branco.
\nAssim:
\n[tex]\\qquad T = H + Q. \\qquad\\qquad (ii)[\/tex]<\/li>\n - Pelo enunciado do problema, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original \u00e9 1,5 vezes o valor da \u00e1rea do hept\u00e1gono, logo:
\n[tex]\\qquad T=1,5 \\times H. \\qquad\\qquad (iii)[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\nSubstituindo [tex](iii)[\/tex] em [tex](ii)[\/tex], segue que [tex]1,5 \\times H = H + Q[\/tex] e, assim, obtemos uma quarta equa\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad 0,5 \\times H = Q. \\qquad\\qquad (iv)[\/tex]
\nSubstituindo [tex](iv)[\/tex] em [tex](i)[\/tex], temos que [tex]H = 0,5 \\times H +1[\/tex], donde [tex]H=\\dfrac{1}{0,5}[\/tex].
\nAgora, substituindo o valor de [tex]H[\/tex] em [tex](iii)[\/tex], obtemos, finalmente, o valor de [tex]T[\/tex]:
\n[tex]\\qquad T=\\dfrac{1,5}{0,5}=\\dfrac{0,5}{0,5}+\\dfrac{0,5}{0,5}+\\dfrac{0,5}{0,5}=3[\/tex].<\/p>\n\n
Assim, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original equivale a [tex]3 \\, unidades \\, de \\, \\acute{a}rea[\/tex].<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n
\n
\nSolu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n
\nEsta \u00e9, provavelmente, a solu\u00e7\u00e3o feita pela maioria dos que solucionaram o problema.<\/p>\n\n
Sejam [tex]H[\/tex], [tex]Q[\/tex] e [tex]T[\/tex] as \u00e1reas do hept\u00e1gono, do quadril\u00e1tero branco e do tri\u00e2ngulo original, respectivamente.<\/p>\n
<\/p>\nPodemos observar que:<\/p>\n
- \n
- pela figura da direita, a \u00e1rea do hept\u00e1gono \u00e9 a \u00e1rea do quadril\u00e1tero branco mais a \u00e1rea sombreada.
\nComo a \u00e1rea sombreada \u00e9 [tex]1[\/tex], ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad H = Q +1. \\qquad\\qquad (i)[\/tex]<\/li>\n - pela figura da direita, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original (figura da esquerda) \u00e9 a \u00e1rea do hept\u00e1gono mais a \u00e1rea do quadril\u00e1tero branco.
\nAssim:
\n[tex]\\qquad T = H + Q. \\qquad\\qquad (ii)[\/tex]<\/li>\n - Pelo enunciado do problema, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original \u00e9 1,5 vezes o valor da \u00e1rea do hept\u00e1gono, logo:
\n[tex]\\qquad T=\\dfrac{3H}{2}. \\qquad\\qquad (iii)[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\nSubstituindo [tex](iii)[\/tex] em [tex](ii)[\/tex], segue que [tex]\\dfrac{3H}{2} = H + Q[\/tex] e, assim, obtemos uma quarta equa\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad Q=\\dfrac{H}{2}. \\qquad\\qquad (iv)[\/tex]
\nSubstituindo [tex](iv)[\/tex] em [tex](i)[\/tex], temos que [tex]H = \\dfrac{H}{2} +1[\/tex], donde [tex]\\dfrac{H}{2}=1[\/tex], ou ainda, [tex]H=2[\/tex].
\nAgora, substituindo o valor de [tex]H[\/tex] em [tex](iii)[\/tex], obtemos, finalmente, o valor de [tex]T[\/tex]:
\n[tex]\\qquad T=\\dfrac{6}{2}=3[\/tex].
\nAssim, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original equivale a [tex]3 \\, unidades \\, de \\, \\acute{a}rea[\/tex].<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n
\n
\nOlimp\u00edada: Canguru 2010 <\/strong>
\nN\u00edvel J – 1\u00aa e 2\u00aa s\u00e9ries\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Problema Um tri\u00e2ngulo \u00e9 dobrado ao longo da linha tracejada, de modo a se obter a figura abaixo, cujo contorno \u00e9 um hept\u00e1gono. A \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original \u00e9 1,5 vezes o valor da \u00e1rea do hept\u00e1gono. A \u00e1rea total das tr\u00eas regi\u00f5es sombreadas \u00e9 1. Qual \u00e9 a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo original? Solu\u00e7\u00e3o 1 … <\/p>\n
- pela figura da direita, a \u00e1rea do hept\u00e1gono \u00e9 a \u00e1rea do quadril\u00e1tero branco mais a \u00e1rea sombreada.
- pela figura da direita, a \u00e1rea do hept\u00e1gono \u00e9 a \u00e1rea do quadril\u00e1tero branco mais a \u00e1rea sombreada.