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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) As tangentes dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o n\u00fameros inteiros positivos. Quais s\u00e3o os poss\u00edveis valores dessas tangentes? Solu\u00e7\u00e3o Sejam [tex] \\, \\, \\alpha \\leq \\beta \\leq \\gamma \\, \\, [\/tex] as medidas dos \u00e2ngulos do tri\u00e2ngulo cujas tangentes s\u00e3o inteiros positivos. Dessa forma, … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nAs tangentes dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o n\u00fameros inteiros positivos. Quais s\u00e3o os poss\u00edveis valores dessas tangentes?<\/p>\n
\nSejam [tex] \\, \\, \\alpha \\leq \\beta \\leq \\gamma \\, \\, [\/tex] as medidas dos \u00e2ngulos do tri\u00e2ngulo cujas tangentes s\u00e3o inteiros positivos. Dessa forma, temos
\n[tex]\\qquad\\qquad \\alpha \\leq \\beta \\leq \\gamma \\lt \\dfrac{\\pi}{2}[\/tex].[tex]\\qquad\\qquad (i)[\/tex]
\nPerceba que
\n[tex]\\qquad\\qquad 0 \\lt \\alpha \\leq \\dfrac{\\pi}{3}[\/tex], [tex]\\qquad\\qquad (ii)[\/tex]
\ncaso contr\u00e1rio ter\u00edamos [tex]\\alpha + \\beta + \\gamma \\gt \\pi[\/tex].
\nNo intervalo [tex] (ii)[\/tex] a fun\u00e7\u00e3o tangente \u00e9 crescente, portanto, [tex] \\, \\, 0 \\lt tg\\,{\\alpha} \\leq tg\\,\\dfrac{\\pi}{3} = \\sqrt{3}[\/tex].
\nComo [tex] \\, \\, tg\\,{\\alpha} \\, \\, [\/tex] \u00e9 um valor inteiro positivo, ent\u00e3o [tex] \\, \\, tg\\,{\\alpha} = 1 \\, \\, [\/tex], logo [tex] \\, \\, \\alpha = \\dfrac{\\pi}{4} \\, \\, [\/tex] e, portanto, [tex] \\, \\, \\beta + \\gamma = \\dfrac{3 \\pi}{4} \\, \\, [\/tex], j\u00e1 que [tex]\\alpha + \\beta + \\gamma=\\pi[\/tex].
\nAssim,
\n[tex]\\qquad tg\\,(\\beta + \\gamma) = tg\\,\\dfrac{3 \\pi}{4}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\Leftrightarrow \\dfrac{tg\\,\\beta + tg\\,\\gamma}{1 – tg\\,\\beta \\cdot tg\\,\\gamma} = -1[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\Leftrightarrow tg\\,\\beta \\cdot tg\\,\\gamma-1 = tg\\,\\beta + tg\\,\\gamma[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\Leftrightarrow tg\\,\\beta \\cdot tg\\,\\gamma-tg\\,\\beta-tg\\,\\gamma + 1 = 2[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\Leftrightarrow (tg\\,\\beta-1) \\cdot (tg\\,\\gamma-1) = 2[\/tex]
\nComo as tangentes s\u00e3o inteiros positivos, temos que um dos fatores \u00e9 [tex]2[\/tex] e outro [tex]1[\/tex]. Por outro lado, a fun\u00e7\u00e3o tangente crescente no intervalo considerado [tex] (i)[\/tex], portanto:
\n[tex]\\qquad tg\\,\\beta-1 = 1\\,[\/tex] e [tex]\\,tg\\,\\gamma-1 = 2[\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad tg\\,\\beta = 2\\,[\/tex] e [tex]\\,tg\\,\\gamma = 3[\/tex].
\nAssim, [tex] \\, \\, \\boxed{tg\\,{\\alpha} = 1; \\, \\, \\, \\, tg\\,\\beta = 2; \\, \\, \\, \\, tg\\,\\gamma = 3}[\/tex].<\/p>\n
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