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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n Em s\u00edmbolos, \n Deste modo, por [tex](i)[\/tex], o n\u00famero de d\u00edgitos de [tex]2^{1000}[\/tex] \u00e9 Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Quantos d\u00edgitos h\u00e1 na representa\u00e7\u00e3o decimal de [tex]2^{1000}[\/tex] ? Solu\u00e7\u00e3o Seja [tex]x[\/tex] um n\u00famero natural com [tex]n[\/tex] d\u00edgitos. Assim, [tex]x[\/tex] pode ser escrito como [tex]\\qquad\\qquad \\boxed{x=a_na_{n-1}\\cdots a_2a_1}[\/tex], sendo [tex]a_1, \\, a_2, \\, \\cdots, \\, a_{n-1}, \\, a_n[\/tex] os seus [tex]n[\/tex] d\u00edgitos. Dessa forma, [tex]\\qquad\\qquad x=a_n\\cdot … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nQuantos d\u00edgitos h\u00e1 na representa\u00e7\u00e3o decimal de [tex]2^{1000}[\/tex] ?<\/p>\n
\nSeja [tex]x[\/tex] um n\u00famero natural com [tex]n[\/tex] d\u00edgitos. Assim, [tex]x[\/tex] pode ser escrito como
\n[tex]\\qquad\\qquad \\boxed{x=a_na_{n-1}\\cdots a_2a_1}[\/tex], sendo [tex]a_1, \\, a_2, \\, \\cdots, \\, a_{n-1}, \\, a_n[\/tex] os seus [tex]n[\/tex] d\u00edgitos.
\nDessa forma,
\n[tex]\\qquad\\qquad x=a_n\\cdot 10^{n-1}+a_{n-1}\\cdot 10^{n-2}+\\cdots+ a_2\\cdot 10^1+a_1[\/tex],
\ne, ent\u00e3o,
\n[tex] \\qquad\\qquad 10^{n-1} \\leq x \\lt 10^n[\/tex].
\nComo a fun\u00e7\u00e3o logaritmo decimal \u00e9 crescente, temos
\n[tex]\\qquad\\qquad log 10^{n – 1} \\le log\\, x \\lt log 10^{n – 1}[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad\\qquad n – 1 \\leq log\\, x \\lt n[\/tex],
\nou ainda,
\n[tex]\\qquad\\qquad n \\leq log\\, x +1 \\lt n+1[\/tex].
\nLogo, temos [tex]n = \\left \\lfloor log\\,x \\right \\rfloor + 1[\/tex], sendo [tex] \\left \\lfloor log\\,x \\right \\rfloor [\/tex] o piso <\/strong>do n\u00famero real [tex] log\\,x [\/tex].[tex]\\qquad\\qquad (i)[\/tex]<\/p>\n
\nAssim, se [tex]z[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real, o piso de [tex]z[\/tex] \u00e9 o \u00fanico n\u00famero inteiro [tex] \\left \\lfloor z \\right \\rfloor [\/tex] tal que [tex] \\left \\lfloor z \\right \\rfloor \\le z \\lt \\left \\lfloor z \\right \\rfloor +1[\/tex].
\nPor exemplo:<\/p>\n\n
\n[tex] \\qquad\\qquad \\left \\lfloor 6,58 \\right \\rfloor=6 [\/tex];
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left \\lfloor 0,14 \\right \\rfloor=0 [\/tex];
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left \\lfloor 231,21 \\right \\rfloor=231 [\/tex];
\n[tex]\\qquad\\qquad \\left \\lfloor 9 \\right \\rfloor=9 [\/tex]. <\/p><\/div>\n
\n[tex]\\begin{align*} \\qquad\\qquad \\left \\lfloor log\\,2^{1000} \\right \\rfloor + 1 &= \\left \\lfloor 1000 \\cdot log\\,2 \\right \\rfloor + 1 \\\\ &= \\left \\lfloor 1000 \\cdot 0,301 \\right \\rfloor + 1 \\\\ & = 302 \\end{align*}[\/tex]<\/p>\n
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