{"id":58445,"date":"2016-03-30T19:41:10","date_gmt":"2016-03-30T22:41:10","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=58445"},"modified":"2024-11-26T23:17:30","modified_gmt":"2024-11-27T02:17:30","slug":"numeros-especiais-numeros-perfeitos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/numeros-especiais-numeros-perfeitos\/","title":{"rendered":".N\u00fameros especiais – n\u00fameros perfeitos"},"content":{"rendered":"

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N\u00fameros especiais<\/strong><\/p>\n

N\u00fameros perfeitos<\/p>\n

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O que s\u00e3o n\u00fameros perfeitos?<\/p>\n

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Quem se interessa pela matem\u00e1tica sabe do fasc\u00ednio dos Pitag\u00f3ricos<\/u> <\/strong><\/span><\/a> por n\u00fameros e, por acreditarem que “n\u00famero” seria o conceito fundamental do universo, eles classificavam os n\u00fameros naturais de v\u00e1rias formas. E \u00e9 na busca da perfei\u00e7\u00e3o que os Pitag\u00f3ricos criaram os n\u00fameros que aqui iremos estudar: os n\u00fameros perfeitos<\/strong>, aqueles que se igualam \u00e0 soma de suas partes.<\/span><\/p>\n

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Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Um n\u00famero natural [tex]n[\/tex], [tex]n\\gt 1[\/tex], \u00e9 dito perfeito <\/em><\/strong>se for igual \u00e0 soma de seus divisores naturais pr\u00f3prios.
\nDivisores naturais pr\u00f3prios<\/em> de um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] s\u00e3o todos os divisores naturais de [tex]n[\/tex], exceto o pr\u00f3prio [tex]n[\/tex].<\/p>\n

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Assim, para sabermos se um n\u00famero natural [tex]n\\gt 1[\/tex] \u00e9 perfeito, temos que:<\/span><\/p>\n

●<\/strong><\/span> encontrar todos os divisores de [tex]n[\/tex] (tarefa n\u00e3o trivial na maioria dos casos);
\n●<\/strong><\/span> somar todos os divisores de [tex]n[\/tex], exceto [tex]n[\/tex];
\n●<\/strong><\/span> verificar se a soma obtida \u00e9 [tex]n[\/tex] ou n\u00e3o.<\/li>\n<\/p>\n

Os quatro primeiros n\u00fameros perfeitos s\u00e3o:<\/span><\/p>\n

✓ 6 = 1 + 2 + 3<\/span>
\n✓ 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14<\/span>
\n✓ 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 <\/span>
\n✓ 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 <\/span><\/p>\n

Esses quatro n\u00fameros perfeitos j\u00e1 eram conhecidos pelos gregos antigos desde, pelo menos, Euclides<\/u><\/strong><\/span><\/a>. O quinto n\u00famero da lista s\u00f3 foi encontrado no s\u00e9culo XV. At\u00e9 Euler<\/u> <\/strong><\/span><\/a>saiu \u00e0 ca\u00e7a de n\u00fameros perfeitos e encontrou, em 1772, o 2.305.843.008.139.952.128<\/span>, que reinou como o maior n\u00famero perfeito at\u00e9 que o pr\u00f3ximo aparecesse, em 1883. <\/span>
\nOs dez menores n\u00fameros perfeitos s\u00e3o os seguintes:<\/span><\/p>\n

✓ 6<\/span>
\n✓ 28<\/span>
\n✓ 496 <\/span>
\n✓ 8.128 <\/span>
\n✓ 33.550.336<\/span>
\n✓ 8.589.869.056<\/span>
\n✓ 137.438.691.328<\/span>
\n✓ 2.305.843.008.139.952.128<\/span>
\n✓ 2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176<\/span>
\n✓ 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216<\/span><\/p>\n

Os n\u00fameros perfeitos n\u00e3o s\u00e3o comuns, at\u00e9 o momento somente 49 n\u00fameros perfeitos s\u00e3o conhecidos, e apenas com o aparecimento dos computadores foi poss\u00edvel encontrar grandes n\u00fameros perfeitos. Bem, se voc\u00ea se impressionou com os 54 d\u00edgitos do d\u00e9cimo n\u00famero perfeito, descoberto em 1911, saiba que 39 n\u00fameros perfeitos maiores do que ele j\u00e1 foram descobertos. O mais recente entrou para a lista dos maiores n\u00fameros perfeitos j\u00e1 descobertos em janeiro de 2016 e tem mais de 44 milh\u00f5es de d\u00edgitos: 274207280<\/sup> × (274207281<\/sup> – 1)<\/span>.<\/p>\n

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\n

Para descontrair…<\/em><\/p>\n

\"numero<\/p>\n

Cria\u00e7\u00e3o de Marlon Ten\u00f3rio<\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

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\n

Nossa, o maior perfeito de Euclides tem 4 d\u00edgitos, enquanto que o maior dos dias de hoje tem mais 44 milh\u00f5es… <\/p>\n<\/td>\n

\n\"carinha20\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

\u00c9, mas tem muito de Euclides nesses perfeitos grandes…<\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

Como assim????<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha19\"\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Acompanhe a discuss\u00e3o e tire as suas conclus\u00f5es…<\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

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Um pouco da hist\u00f3ria dos n\u00fameros perfeitos<\/p>\n

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A hist\u00f3ria dos n\u00fameros perfeitos come\u00e7a com os Pitag\u00f3ricos que postulavam dois tipos diferentes de n\u00famero perfeito. O primeiro tipo tinha o n\u00famero 10 como \u00fanico representante e a perfei\u00e7\u00e3o vinha do fato de este n\u00famero ser o resultado da soma dos quatro primeiros n\u00fameros naturais: 1 + 2 + 3 + 4 = 10<\/span>. O segundo tipo era constitu\u00eddo dos n\u00fameros naturais que se igualam \u00e0 soma de suas partes, tema desta Sala de Estudo.<\/span>
\nO pr\u00f3ximo personagem entra nesta pequena hist\u00f3ria dos n\u00fameros perfeitos em, mais ou menos, 300 anos a.C.: Euclides. No IX livro dos Elementos aparece, al\u00e9m da defini\u00e7\u00e3o de n\u00fameros perfeitos, uma proposi\u00e7\u00e3o acerca desses n\u00fameros:<\/span><\/p>\n

\u201cSe tantos n\u00fameros quantos quisermos, come\u00e7ando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla propor\u00e7\u00e3o at\u00e9 que a soma de todos seja um n\u00famero primo, e se a soma for multiplicada pelo \u00faltimo, ent\u00e3o o produto ser\u00e1 um n\u00famero perfeito<\/strong><\/em>\u201d.<\/p>\n

Em linguagem e nota\u00e7\u00e3o atuais, a proposi\u00e7\u00e3o afirma que:<\/p>\n

Considere a sequ\u00eancia 1 21<\/sup> 22<\/sup> 23<\/sup> … 2n-1<\/sup><\/span>.
\nSe a soma 1 + 21<\/sup> + 22<\/sup> + 23<\/sup> + … + 2n-1<\/sup><\/span> (que, como sabemos, \u00e9 2n<\/sup> – 1) for um n\u00famero primo, ent\u00e3o 2n-1<\/sup> × (2n<\/sup> – 1) \u00e9 um n\u00famero perfeito.<\/span><\/p>\n

Outro matem\u00e1tico que tamb\u00e9m se ocupou com os n\u00fameros perfeitos foi Nicomachus de Gerasa<\/em> (60-120). Este matem\u00e1tico cometeu erros e acertos ao fazer infer\u00eancias sobre o tema, a partir dos quatro n\u00fameros perfeitos conhecidos naquela \u00e9poca. Por exemplo, Nicomachus <\/em> acreditava que o quinto n\u00famero perfeito teria 5<\/span> algarismos, no entanto, como mostrado acima, o quinto n\u00famero perfeito tem 8<\/span> algarismos. Nicomachus <\/em> tamb\u00e9m acreditava que os n\u00fameros perfeitos terminariam com os algarismos 6<\/span> ou 8<\/span> alternadamente. Como veremos mais adiante, todo n\u00famero perfeito termina com 6<\/span> ou 8<\/span>, mas os exemplos acima mostram que isso n\u00e3o ocorre alternadamente. Mais uma previs\u00e3o n\u00e3o concretizada: a partir da f\u00f3rmula descrita por Euclides, Nicomachus <\/em> afirmara que o quinto n\u00famero perfeito corresponderia ao primo 11<\/span>, j\u00e1 que os primeiros perfeitos haviam sido gerados pelos primeiros n\u00fameros primos: <\/p>\n

\n✓ 6 = 22-1<\/sup> × (22<\/sup> – 1) <\/span>;
\n✓ 28 = 23-1<\/sup> × (23<\/sup> – 1) <\/span>;
\n✓ 496 = 25-1<\/sup> × (25<\/sup> – 1) <\/span>;
\n✓ 8128 = 27-1<\/sup> × (27<\/sup> – 1) <\/span>. <\/p>\n

Por\u00e9m 211-1<\/sup> × (211<\/sup> – 1)<\/span> n\u00e3o \u00e9 perfeito e o quinto perfeito \u00e9 gerado por 13<\/span>: 33550336= 213-1<\/sup> × (213<\/sup> – 1)<\/span>.
\nAo longo da hist\u00f3ria dos n\u00fameros perfeitos, a perfei\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros 6<\/span> e 28<\/span> foi reverenciada por outras culturas que observavam que a Lua demora 28<\/span> dias para dar uma volta completa sobre a Terra e que Deus teria criado o mundo em 6<\/span> dias. Santo Agostinho<\/strong> (354 – 430) afirma em seu livro A Cidade de Deus<\/strong> que:<\/p>\n

\u201cO n\u00famero \u00e9 perfeito em si mesmo e n\u00e3o porque Deus criou todas as coisas em seis dias. O inverso \u00e9 mais verdadeiro, Deus criou todas as coisas em seis dias porque este n\u00famero \u00e9 perfeito. E continuaria perfeito mesmo que o trabalho de seis dias n\u00e3o existisse.\u201d<\/strong><\/em><\/p>\n

<\/span>Por volta do ano 1.000, o f\u00edsico e matem\u00e1tico \u00e1rabe Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham<\/strong><\/em> (965 – 1040), conhecido como Alhazen<\/em>, teria percebido que a rec\u00edproca <\/strong> da proposi\u00e7\u00e3o de Euclides sobre n\u00fameros perfeitos era v\u00e1lida, sem, no entanto, conseguir demonstr\u00e1-la.
\n<\/span>A validade da rec\u00edproca <\/strong>da afirma\u00e7\u00e3o provada por Euclides de que se 2n<\/sup> – 1 for um n\u00famero primo, ent\u00e3o 2n-1<\/sup> × (2n<\/sup> – 1) \u00e9 um n\u00famero perfeito<\/span> foi, finalmente, provada no s\u00e9culo XVIII, pelo matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o Leonhard Euler<\/u><\/strong><\/span><\/a>. Em nota\u00e7\u00e3o atual, Euler provou que todos os n\u00fameros perfeitos pares s\u00e3o da forma 2n<\/em>-1<\/sup> × (2n<\/sup> – 1) <\/span>, ou seja, <\/p>\n

Se m \u00e9 um n\u00famero par que \u00e9 perfeito, ent\u00e3o m \u00e9 da forma 2n-1<\/sup> × (2n<\/sup> – 1), para algum natural n tal que 2n-1<\/sup> seja um n\u00famero primo.<\/p>\n

Pronto, o cerco aos pares perfeitos estava fechado, pois a busca por n\u00fameros pares perfeitos se resume, agora, \u00e0 busca por n\u00fameros primos da forma 2n-1<\/sup><\/span>, j\u00e1 que \u201cse 2n-1<\/sup> for primo, ent\u00e3o 2n-1<\/sup> × (2n<\/sup> – 1) \u00e9 perfeito\u201d<\/span>. Os primos da forma 2n-1<\/sup><\/span> s\u00e3o conhecidos como Primos de Mersenne<\/em>, em homenagem ao monge matem\u00e1tico franc\u00eas Marin Mersenne<\/em><\/strong> (1588 – 1648), que estudou esses n\u00fameros.<\/span>
\nNa hist\u00f3ria dos n\u00fameros perfeitos, encontramos, tamb\u00e9m, o matem\u00e1tico franc\u00eas Fran\u00e7ois \u00c9douard Anatole Lucas<\/em><\/strong> (1842-1891), criador da famosa Torre de Han\u00f3i. \u00c9douard Lucas refinou a afirma\u00e7\u00e3o de Nicomachus<\/em> de que os n\u00fameros perfeitos terminariam em 6 ou 8 provando que os n\u00fameros perfeitos pares terminam em 16, ou 28, ou 36, ou 56, ou 76, ou 96. Em 1876 ele tamb\u00e9m provou que
\n 2127<\/sup> – 1 = 170141183460469231731687303715884105727<\/span>
\n\u00e9 primo, e este continua sendo o maior n\u00famero primo descoberto sem a ajuda de um computador. Ele tem 39 d\u00edgitos e gerou o seguinte n\u00famero perfeito:
\n 2126<\/sup> × (2127<\/sup> – 1) =14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128 <\/span>.<\/p>\n

\n

Com o surgimento dos computadores, a busca por n\u00fameros primos de Mersenne se intensificou. V\u00e1rios primos de Mersene e, consequentemente, v\u00e1rios n\u00fameros perfeitos foram encontrados. No entanto, duas perguntas sobre n\u00fameros perfeitos permanecem sem resposta at\u00e9 este momento:<\/strong><\/span><\/p>\n

Todos os n\u00fameros perfeitos s\u00e3o pares?<\/p>\n

Existem infinitos n\u00fameros perfeitos?<\/p>\n

O que se pode afirmar sobre a exist\u00eancia de n\u00fameros perfeitos \u00edmpares \u00e9 que, se existirem, o menor deles \u00e9 muuuuuuuuuuuuuuuuuuito grande: com, pelo menos, 300 d\u00edgitos e com muitos fatores primos.<\/span><\/p>\n

\n

\n

A procura de grandes primos<\/p>\n

\n

Em 1996, foi criado um grupo que procura por n\u00fameros primos de Mersenne e que foi o respons\u00e1vel pela descoberta dos \u00faltimos quinze maiores n\u00fameros de Mersenne at\u00e9 o momento: o Great Internet Mersenne Prime Search – GIMPS<\/strong>.<\/span>
\n\"GIMPS\"<\/a> <\/p>\n

\n

O grupo \u00e9 formado por milhares de volunt\u00e1rios do mundo todo. Essas pessoas instalam em seus computadores softwares que processam continuamente n\u00fameros enviados por um servidor central. \u00c9, portanto, um trabalho cooperativo de procura por primos de Mersenne.<\/span>
\nA ca\u00e7a aos primos de Mersenne \u00e9 norteada por toda uma teoria matem\u00e1tica sobre n\u00fameros primos. Trataremos um pouco sobre essa teoria na Sala de Estudo sobre n\u00fameros primos que ser\u00e1 aberta, em breve, no Blog dos Clubes, mas se voc\u00ea quiser conhecer o Ranking <\/em><\/strong>dos 49 n\u00fameros perfeitos conhecidos at\u00e9 o momento, \u00e9 s\u00f3 clicar nos pr\u00f3ximos bot\u00f5es: <\/span><\/p>\n