\nSe [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, denotaremos por [tex]p(n)[\/tex] o produto dos algarismos de [tex]n[\/tex].
\nPor exemplo, [tex]p(7)=7 \\, [\/tex] e [tex] \\, p(25)=2\\cdot 5=10[\/tex].
\n
Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\nSeja [tex]S=p(1)+p(2)+p(3)+\\cdots +p(100)[\/tex].
\nObservamos inicialmente que, para os n\u00fameros terminados em [tex]0[\/tex], o respectivo produto dos algarismos \u00e9 [tex]0[\/tex]; assim esses n\u00fameros em nada contribuem para a soma [tex]S[\/tex]. Por outro lado, observamos tamb\u00e9m que:
\n[tex]\\qquad p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)+p(8)+p(9)=\\\\
\n\\qquad =1+2+3+4+5+6+7+8+9=45\\,.[\/tex]
\nPronto, o problema est\u00e1 praticamente resolvido, pois :
\n[tex]\\qquad \\begin{align*} p(11)+p(12)+p(13)+ \\, \\cdots \\, +p(19)&=1\\cdot 1+1\\cdot 2+1\\cdot 3+ \\, \\cdots \\, +1\\cdot 9\\\\
\n&=1\\cdot (1+2+3+ \\, \\cdots \\, +9); \\end{align*}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\begin{align*} p(21)+p(22)+p(23)+ \\, \\cdots \\, +p(29)&=2\\cdot 1+2\\cdot 2+2\\cdot 3+ \\, \\cdots \\, +2\\cdot 9\\\\
\n& =2\\cdot (1+2+3+ \\, \\cdots \\, +9); \\end{align*}[\/tex]
\ne assim sucessivamente, at\u00e9
\n[tex]\\qquad \\begin{align*} p(91)+p(92)+p(93)+ \\, \\cdots \\, +p(99)&=9\\cdot 1+9\\cdot 2+9\\cdot 3+ \\, \\cdots \\, +9\\cdot 9\\\\
\n&=9\\cdot (1+2+3+ \\, \\cdots \\, +9)\\end{align*}\\,.[\/tex]
\nPortanto,
\n[tex]\\begin{align*} \\quad S & = p(1)+p(2)+p(3)+\\cdots +p(100)\\\\ &= \\left[p(1)+ \\, \\cdots \\, +p(9)\\right]+\\left[p(11)+ \\, \\cdots \\, +p(19)\\right]+\\left[p(21)+ \\, \\cdots \\, +p(29)\\right]+\\\\
\n& \\, \\, + \\, \\cdots \\, +\\left[p(91)+ \\, \\cdots \\, +p(99)\\right]\\\\
\n& =45+1\\cdot (1+2+3+ \\, \\cdots \\, +9)+2\\cdot (1+2+3+ \\, \\cdots \\, +9)+ \\, \\cdots \\,\\\\
\n&\\cdots +9\\cdot (1+2+3+ \\, \\cdots \\, +9)
\n\\\\& = 45+(1+2+ \\, \\cdots \\, +9)\\cdot (1+2+ \\, \\cdots \\, +9)
\n\\\\ & =45+(1+2+ \\, \\cdots \\, +9)^2 \\\\&=45+45^2 \\\\&=2070,\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n
\n
e, ent\u00e3o, [tex]p(1)+p(2)+p(3)+\\cdots +p(100)=2070[\/tex].<\/p>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n
\nOlimp\u00edada:
XIV ONM<\/strong> – 2014
\nOctavo Grado\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Problema Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, denotaremos por [tex]p(n)[\/tex] o produto dos algarismos de [tex]n[\/tex]. Por exemplo, [tex]p(7)=7 \\, [\/tex] e [tex] \\, p(25)=2\\cdot 5=10[\/tex]. Determine o valor da soma [tex]\\qquad \\qquad p(1)+p(2)+\\cdots +p(100)[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o Seja [tex]S=p(1)+p(2)+p(3)+\\cdots +p(100)[\/tex]. Observamos inicialmente que, para os n\u00fameros terminados em [tex]0[\/tex], o respectivo produto dos algarismos \u00e9 [tex]0[\/tex]; … <\/p>\n
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