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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n [tex]\\quad c! \\geq 3\\cdot (c-1)! = \\underbrace{(c -1)!}_{ \\geq a! \\text{ (I)}} + \\underbrace{(c -1)!}_{ \\geq b! \\text{ (II)}} + (c -1)! \\geq a! + b! + (c – 1)! > a! + b!\\,,[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Determine todos os inteiros positivos [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] tais que [tex]a! + b! = c![\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Como [tex]b! > 0[\/tex], temos [tex]c! > a![\/tex] e, portanto, [tex]c > a[\/tex]. De modo an\u00e1logo, mostra-se que [tex]c > b[\/tex]. Mas [tex]\\boxed{c > a \\Leftrightarrow c – … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nDetermine todos os inteiros positivos [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] tais que [tex]a! + b! = c![\/tex].<\/p>\n
\nComo [tex]b! > 0[\/tex], temos [tex]c! > a![\/tex] e, portanto, [tex]c > a[\/tex]. De modo an\u00e1logo, mostra-se que [tex]c > b[\/tex].
\nMas [tex]\\boxed{c > a \\Leftrightarrow c – 1 \\geq a}\\,\\,[\/tex] e [tex]\\,\\,\\boxed{c > b \\Leftrightarrow c – 1 \\geq b}[\/tex], assim temos que:
\n[tex]\\qquad (c – 1)! \\geq a!\\qquad\\qquad [\/tex] (I)
\n[tex]\\qquad (c – 1)! \\geq b!\\qquad\\qquad [\/tex] (II).
\nPerceba que [tex]c \\lt 3[\/tex], caso contr\u00e1rio, ter\u00edamos<\/p>\n
\no que contradiz a hip\u00f3tese.
\nDeste modo, temos [tex]c = 1[\/tex] ou [tex]c = 2[\/tex].
\nNo primeiro caso n\u00e3o temos solu\u00e7\u00e3o e no segundo caso temos [tex]\\boxed{a = b = 1}[\/tex].<\/p>\n
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